湘教版初中数学九年级下册2.5.2圆的切线 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·无棣期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
2．（2021九上·建华期中）如图，在平面直角坐标系中，过边长为1的正方形格点A、B、C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（5，0） B．点（2，3） C．点（6，1） D．点（1，3）
3．（2021九上·南宁期中）如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021九上·无锡期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18.将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处.连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（ ）
A．2.7 B．5.4 C．4.5 D．3.6
5．（2021九上·贵州期中）如图，在 APBC中，∠C=40°，若⊙O与PA，PB相切于点A，B，则∠CAB=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2021九上·平阳期中）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
7．（2021九上·平阳期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，点O是CD上的动点，以O为圆心作半径为1的圆，若该圆与△ABC重叠部分的面积为π，则OC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·福州月考）下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
9．（2021九上·高港月考）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·拜泉期中）如图， 是 的切线，切点为 是 的直径， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
12．（2021九上·金乡期中）如图，AB是 的直径，PA切 于点A，线段PO交 于点C．连接BC，若 ，则 ．
13．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12，则圆O的半径为 。
14．（2021九上·泰兴期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠B+∠D＝ °.
15．（2021九上·宁波期中）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为 ．
16．（2021九上·平阳期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以顶点C为圆心，BC长为半径画圆弧BH，过AB中点P作弧BH的切线PE，E为切点，连接AE并延长交CD于点F，则tan∠DAF的数值为 .
三、解答题
17．（2021·吉林模拟）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，连接AP交⊙O于点C。点D在⊙O上，∠CDB=45°，求证：AB=BP。
18．（2021·河西模拟）如图①， 是 的弦， ，垂足为P，交 于点E，且 ， ．
（Ⅰ）求 的半径；
（Ⅱ）如图②，过点E作 的切线 ，连接 并延长与该切线交于点D，延长 交 于C，求 的长．
19．（2021·河东模拟）已知AB为 的直径，EF切 于点D，过点B作 于点H交 于点C，连接BD．
（1）如图①，若 ，求 的大小；
（2）如图②，若C为弧BD的中点，求 的大小．
四、综合题
20．（2021九上·哈尔滨月考）已知， 内接于 ，AD、BD为 的弦，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过B作 的切线交AC的延长线于E，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，若 ， ， ，求CE的长度．
21．（2021九上·无棣期中）如图， 与等边 的边 ， 分别交于点 ， ， 是直径，过点 作 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径 与等边 的边长 之间的数量关系．
22．（2021九上·鲅鱼圈期中）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A＝60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．
故答案为：C．
【分析】由圆周角定理可求得∠AOB，在四边形PAOB中利用四边形的内角和结合切线的性质即可求解。
2．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图，∵过格点A，B，C作一圆弧，而 的垂直平分线交于点
∴三点组成的圆的圆心为： ，
∵只有 时， 与圆相切，
∴当 时，
此时满足
∴
∴ 点的坐标为：（1，3），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（1，3）．
故答案为：D．
【分析】先确定圆弧的圆心的位置，再利用切线的判定得出只有 时， 与圆相切，从而得出 ，满足条件，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OP，
∵PA切圆O与点A，
∴OA⊥AP，
∵AP=4，OA=3，
∴OP= =5.
故答案为：D.
【分析】连接OA，OP，由切线的性质可得OA⊥AP，然后利用勾股定理求解即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，
∵点O是矩形对称中心，
∴AH＝HD＝ AD＝9，OM＝ AD＝9，DM= CD=6
∵以O为圆心的圆与EM相切，
∴OP⊥EM，
由折叠的性质可知，EA＝EM，
在Rt△MDE中，EM2＝DE2＋DM2，即EM2＝（18 EM）2＋62，
解得，EM＝10，
∴DE＝8，
∴HE＝HD DE＝1，
设MP＝x，则EP＝10 x，
∵OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2，
∴62＋12 （10 x）2＝92 x2，
解得，x＝ =7.2，
∴OP＝ ＝5.4.
故答案为：B.
【分析】连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，易得AH＝HD＝9，OM＝AD＝9，DM=CD=6，由折叠的性质可知：EA＝EM，根据勾股定理求出EM，进而得到DE、HE，设MP＝x，则EP＝10 x，根据OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2可求出x，然后根据勾股定理就可求出OP.
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵四边形APBC为平行四边形，
∴PA∥BC，
∴∠PAC=180°-∠C=140°，
∵PA、PB为切线，
∴PA=PB，
∴四边形APBC为菱形，
∴∠CAB=∠PAB=∠PAC=70°.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可知PA∥BC，然后由平行线的性质求出∠PAC的度数，再由切线长定理得出PA=PB，求出四边形APBC为菱形，根据菱形的性质得出∠CAB=∠PAC，即可求出结果.
6．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵CA和CE为切线，
∴CA=CE，
同理，DE=BD，PA=PB=8，
∴△PCD的周长=PC+CE+DE+BD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=16.
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理得出CA=CE，DE=BD，PA=PB，则可把△PCD的周长化为PA与PB之和，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
AB==10，
S= πr2=π，
∵该圆与△ABC重叠部分的面积为π，
∴此圆全部落在△ABC中，
若OC取最小值时， ⊙O 与BC相切，
设切点为P，连接OP，
∴OP⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠OPC=∠ACB，
∵∠OCP+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠OCP=∠A，
∴△OCP∽△BAC，
∴，即，
∴OC=.
故答案为：D.
【分析】先利用勾股求出AB长，再求出⊙O的面积，由于该圆与△ABC重叠部分的面积为π，得出此圆全部落在△ABC中，若OC取最小值时， ⊙O 与BC相切，设切点为P，连接OP，证明△OCP∽△BAC，利用相似三角形的性质列比例式，代值计算即可.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；切线的判定
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，故错误；
④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的两边OA、OB上的两点，则E、O、F三点确定一个圆，故错误.
故答案为：D.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，垂径定理、切线的判定定理、不在同一直线上的三个点确定一个圆逐一进行判断即可.
9．【答案】C
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG＝OA sin60°＝2× ＝ ，
∴S阴影＝S△OAB S扇形OMN＝ ×2× ＝ .
故答案为：C.
【分析】设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，解直角三角形OAG可求得OG的值，再根据阴影部分图形的构成S阴影＝S△OAB S扇形OMN可求解.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
11．【答案】80°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 是 的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：80°．
【分析】先求出，再求出∠B=40°，最后计算求解即可。
12．【答案】27°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】如图，连接AC，
是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵PA切 于点A，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【分析】直接利用切线的性质得出 ，再利用三角形内角和定理得出 ，结合圆周角定理得出答案。
13．【答案】2
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF，设半径为r，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，
∵ ∠C=90°， OD=OE=OF，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CE=CF=r，
∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC=5，
∴BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2，
∴ 圆O的半径为2.
【分析】连接OD，OE，OF，设半径为r，证出四边形OFCE是正方形，得出CE=CF=r，再根据切线长定理得出BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，根据勾股定理得出AB=13，从而得出5-r+12-r=13，得出r的值，即可得出答案.
14．【答案】219
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OA、OB、OC，
∵OA＝OD＝OB＝OC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝102°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣90°﹣102°，
∴2∠2+2∠3+2∠5＝258°，
∴∠2+∠3+∠5＝129°，
∵∠OBP＝90°，
∴∠PBC+∠ADC＝∠2+∠3+∠5+∠OBP＝129°+90°＝219°.
故答案为：219.
【分析】连接OD、OA、OB、OC，由等腰三角形的性质得 ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，根据切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，结合五边形内角和得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝(5-2)×180°-90°-90°-102°，求解可得∠2+∠3+∠5＝129°，则∠PBC+∠ADC＝∠2+∠3+∠5+∠OBP，据此求解.
15．【答案】 或 或
【知识点】菱形的性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①如图，过O点作直线l的垂线，交AD于E，交BC于点F，作AG交直线l于点G，
∵EF=2+4=6，
∵四边形AGFE为矩形，
∴AG=EF=6，
在Rt△ABG中，AB=，
②如图，过O点作EF的垂线于BA的延长线于E点，交CD于点F，作AG垂直于CD于G，
则AG=EF=4，
AD=AG=.
③如图，过O点作OE垂线于直线l于E点，过D点作DF⊥直线l于点F，
则OE=4，DF=4-2=2，
DC=.
故答案为： 或 或 .
【分析】分三种情况讨论，先作图，然后作垂线，构造直角三角形，先根据线段的和差关系求有关线段的长，然后利用锐角三角函数定义分别求菱形的边长即可.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CE、CP和BE，
∵PE和BC是圆C的切线，
∵PE=PB，
∵BC=BE，
∴CP是BE的垂直平分线，
∴CP⊥BE，
∵PA=PB=PE，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，
∴AF∥BC，
∵AP∥FC，
∴四边形APCF是平行四边形，
∴FC=AP=2，
∴FD=CD-FC=8-4=4，
∴tan∠DAF===.
故答案为：.
【分析】连接CE、CP和BE，根据切线长定理得出PE=PB，结合BC=BH，可得CP是BE的垂直平分线，得到CP⊥BE，再由PA=PB=PE，证出BE⊥AF，从而求出AF∥BC，结合AP∥FC，求得四边形APCF是平行四边形，则可求出FC长，然后由线段的和差关系求出FD长，最后根据三角形函数定义计算即可.
17．【答案】证明：∵PB是⊙O的切线，∴AB⊥BP
∴∠ABP=90°∴∠A+∠P= 90°
∵∠A=∠CDB =45°，∴∠P=45°
∴∠A=∠P
∴AB=BP
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】根据切线的性质得出∠ABP=90°，根据圆周角定理得出∠A=∠CDB =45°，从而得出 ∠A=∠P=45°，再根据等角对等边，即可得出AB=BP.
18．【答案】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，（负舍）
∴ ，
∴半径 为8．
（Ⅱ）∵ 为 的切线，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出
，再求出 ， 最后计算求解即可；
（Ⅱ）先求出
， 再根据
进行计算求解即可。
19．【答案】（1）如图，连接OD．
由切线的性质结合题意可知 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（2）如图，连接OD、OC、CD．
∵OC=OD，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵C为 中点，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】切线的判定与性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，最后计算求解即可；
（2）先求出
， 再求出
，最后计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：
∵
∴
∵
∴
∴ ；
（2）证明：连OB、OD，如图，
∵BE为切线
∴
∴ ，
∴
则
，
∴
（3）解：如图，连接 ，
是 的切线，
如图，延长AD交BC的延长线于G，作 于G， 于N， 于Q，延长AB至S，连接ES，使 ，作 于F， 于R，
∵ ，
设 ， ，则 ，
∴
∴
∴
∵
∴ ，
又
，
∵ ，设 ， ，
，则 ，
，
又
∴
∴ ，
∵
∴在 中， ，
在 中， ，
即
∴
∴ ，设 ，
∵
在 与 中，
∴
∴
解得：
∴
，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ∴ ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再证明求解即可；
（3）利用切线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵等边 ，
∴∠A=∠B=60°，
∵ ，
∴△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴OD∥BC，
∵ ，
∴∠CFD=∠FDO=90°，
∵OD是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）可得 是 的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴△FDE是等边三角形，
∴DE=DF，
∵ ， 是直径，
∴ ，
∴△CDF≌△AED（AAS），
∴AE=CD=2r，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定；切线的性质
【解析】【分析】
(1)连接OD， 根据题意可得出 △AOD为等边三角形 ，利用∠AOD=∠B可得出 OD∥BC ，由平行线的性质结合 得出 ∠CFD=∠FDO=90°， 即可得证；
(2)连接DE，由（1） 及题意可知 ， ， 可得 △FDE是等边三角形， 进而DE=DF， 然后由 △CDF≌△AED 可知 AE=CD=2r， 即可得出结论。
22．【答案】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD， ，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝6，∠DBC＝∠A＝60°，BC⊥OB，
∴OC＝12，
∵△OBC的面积＝ OC BE＝ OB BC，
∴BE＝ ，
∴BD＝2BE＝6 ，
即弦BD的长为6 ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OB，由垂径定理推论得出BE＝DE，OE⊥BD， ，由圆周角定理得出∠BOE＝∠DBC，证出∠OBE+∠DBC＝90°，得出∠OBC＝90°即可；
（2）由勾股定理求出oc，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.5.2圆的切线 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·无棣期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．
故答案为：C．
【分析】由圆周角定理可求得∠AOB，在四边形PAOB中利用四边形的内角和结合切线的性质即可求解。
2．（2021九上·建华期中）如图，在平面直角坐标系中，过边长为1的正方形格点A、B、C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（5，0） B．点（2，3） C．点（6，1） D．点（1，3）
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图，∵过格点A，B，C作一圆弧，而 的垂直平分线交于点
∴三点组成的圆的圆心为： ，
∵只有 时， 与圆相切，
∴当 时，
此时满足
∴
∴ 点的坐标为：（1，3），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（1，3）．
故答案为：D．
【分析】先确定圆弧的圆心的位置，再利用切线的判定得出只有 时， 与圆相切，从而得出 ，满足条件，即可得出答案。
3．（2021九上·南宁期中）如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OP，
∵PA切圆O与点A，
∴OA⊥AP，
∵AP=4，OA=3，
∴OP= =5.
故答案为：D.
【分析】连接OA，OP，由切线的性质可得OA⊥AP，然后利用勾股定理求解即可.
4．（2021九上·无锡期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18.将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处.连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（ ）
A．2.7 B．5.4 C．4.5 D．3.6
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，
∵点O是矩形对称中心，
∴AH＝HD＝ AD＝9，OM＝ AD＝9，DM= CD=6
∵以O为圆心的圆与EM相切，
∴OP⊥EM，
由折叠的性质可知，EA＝EM，
在Rt△MDE中，EM2＝DE2＋DM2，即EM2＝（18 EM）2＋62，
解得，EM＝10，
∴DE＝8，
∴HE＝HD DE＝1，
设MP＝x，则EP＝10 x，
∵OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2，
∴62＋12 （10 x）2＝92 x2，
解得，x＝ =7.2，
∴OP＝ ＝5.4.
故答案为：B.
【分析】连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，易得AH＝HD＝9，OM＝AD＝9，DM=CD=6，由折叠的性质可知：EA＝EM，根据勾股定理求出EM，进而得到DE、HE，设MP＝x，则EP＝10 x，根据OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2可求出x，然后根据勾股定理就可求出OP.
5．（2021九上·贵州期中）如图，在 APBC中，∠C=40°，若⊙O与PA，PB相切于点A，B，则∠CAB=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵四边形APBC为平行四边形，
∴PA∥BC，
∴∠PAC=180°-∠C=140°，
∵PA、PB为切线，
∴PA=PB，
∴四边形APBC为菱形，
∴∠CAB=∠PAB=∠PAC=70°.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可知PA∥BC，然后由平行线的性质求出∠PAC的度数，再由切线长定理得出PA=PB，求出四边形APBC为菱形，根据菱形的性质得出∠CAB=∠PAC，即可求出结果.
6．（2021九上·平阳期中）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵CA和CE为切线，
∴CA=CE，
同理，DE=BD，PA=PB=8，
∴△PCD的周长=PC+CE+DE+BD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=16.
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理得出CA=CE，DE=BD，PA=PB，则可把△PCD的周长化为PA与PB之和，即可解答.
7．（2021九上·平阳期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，点O是CD上的动点，以O为圆心作半径为1的圆，若该圆与△ABC重叠部分的面积为π，则OC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
AB==10，
S= πr2=π，
∵该圆与△ABC重叠部分的面积为π，
∴此圆全部落在△ABC中，
若OC取最小值时， ⊙O 与BC相切，
设切点为P，连接OP，
∴OP⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠OPC=∠ACB，
∵∠OCP+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠OCP=∠A，
∴△OCP∽△BAC，
∴，即，
∴OC=.
故答案为：D.
【分析】先利用勾股求出AB长，再求出⊙O的面积，由于该圆与△ABC重叠部分的面积为π，得出此圆全部落在△ABC中，若OC取最小值时， ⊙O 与BC相切，设切点为P，连接OP，证明△OCP∽△BAC，利用相似三角形的性质列比例式，代值计算即可.
8．（2021九上·福州月考）下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；切线的判定
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，故错误；
④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的两边OA、OB上的两点，则E、O、F三点确定一个圆，故错误.
故答案为：D.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，垂径定理、切线的判定定理、不在同一直线上的三个点确定一个圆逐一进行判断即可.
9．（2021九上·高港月考）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG＝OA sin60°＝2× ＝ ，
∴S阴影＝S△OAB S扇形OMN＝ ×2× ＝ .
故答案为：C.
【分析】设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，解直角三角形OAG可求得OG的值，再根据阴影部分图形的构成S阴影＝S△OAB S扇形OMN可求解.
10．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
二、填空题
11．（2021九上·拜泉期中）如图， 是 的切线，切点为 是 的直径， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 是 的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：80°．
【分析】先求出，再求出∠B=40°，最后计算求解即可。
12．（2021九上·金乡期中）如图，AB是 的直径，PA切 于点A，线段PO交 于点C．连接BC，若 ，则 ．
【答案】27°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】如图，连接AC，
是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵PA切 于点A，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【分析】直接利用切线的性质得出 ，再利用三角形内角和定理得出 ，结合圆周角定理得出答案。
13．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12，则圆O的半径为 。
【答案】2
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF，设半径为r，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，
∵ ∠C=90°， OD=OE=OF，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CE=CF=r，
∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC=5，
∴BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2，
∴ 圆O的半径为2.
【分析】连接OD，OE，OF，设半径为r，证出四边形OFCE是正方形，得出CE=CF=r，再根据切线长定理得出BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，根据勾股定理得出AB=13，从而得出5-r+12-r=13，得出r的值，即可得出答案.
14．（2021九上·泰兴期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠B+∠D＝ °.
【答案】219
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OA、OB、OC，
∵OA＝OD＝OB＝OC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝102°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣90°﹣102°，
∴2∠2+2∠3+2∠5＝258°，
∴∠2+∠3+∠5＝129°，
∵∠OBP＝90°，
∴∠PBC+∠ADC＝∠2+∠3+∠5+∠OBP＝129°+90°＝219°.
故答案为：219.
【分析】连接OD、OA、OB、OC，由等腰三角形的性质得 ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，根据切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，结合五边形内角和得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝(5-2)×180°-90°-90°-102°，求解可得∠2+∠3+∠5＝129°，则∠PBC+∠ADC＝∠2+∠3+∠5+∠OBP，据此求解.
15．（2021九上·宁波期中）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为 ．
【答案】 或 或
【知识点】菱形的性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①如图，过O点作直线l的垂线，交AD于E，交BC于点F，作AG交直线l于点G，
∵EF=2+4=6，
∵四边形AGFE为矩形，
∴AG=EF=6，
在Rt△ABG中，AB=，
②如图，过O点作EF的垂线于BA的延长线于E点，交CD于点F，作AG垂直于CD于G，
则AG=EF=4，
AD=AG=.
③如图，过O点作OE垂线于直线l于E点，过D点作DF⊥直线l于点F，
则OE=4，DF=4-2=2，
DC=.
故答案为： 或 或 .
【分析】分三种情况讨论，先作图，然后作垂线，构造直角三角形，先根据线段的和差关系求有关线段的长，然后利用锐角三角函数定义分别求菱形的边长即可.
16．（2021九上·平阳期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以顶点C为圆心，BC长为半径画圆弧BH，过AB中点P作弧BH的切线PE，E为切点，连接AE并延长交CD于点F，则tan∠DAF的数值为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CE、CP和BE，
∵PE和BC是圆C的切线，
∵PE=PB，
∵BC=BE，
∴CP是BE的垂直平分线，
∴CP⊥BE，
∵PA=PB=PE，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，
∴AF∥BC，
∵AP∥FC，
∴四边形APCF是平行四边形，
∴FC=AP=2，
∴FD=CD-FC=8-4=4，
∴tan∠DAF===.
故答案为：.
【分析】连接CE、CP和BE，根据切线长定理得出PE=PB，结合BC=BH，可得CP是BE的垂直平分线，得到CP⊥BE，再由PA=PB=PE，证出BE⊥AF，从而求出AF∥BC，结合AP∥FC，求得四边形APCF是平行四边形，则可求出FC长，然后由线段的和差关系求出FD长，最后根据三角形函数定义计算即可.
三、解答题
17．（2021·吉林模拟）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，连接AP交⊙O于点C。点D在⊙O上，∠CDB=45°，求证：AB=BP。
【答案】证明：∵PB是⊙O的切线，∴AB⊥BP
∴∠ABP=90°∴∠A+∠P= 90°
∵∠A=∠CDB =45°，∴∠P=45°
∴∠A=∠P
∴AB=BP
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】根据切线的性质得出∠ABP=90°，根据圆周角定理得出∠A=∠CDB =45°，从而得出 ∠A=∠P=45°，再根据等角对等边，即可得出AB=BP.
18．（2021·河西模拟）如图①， 是 的弦， ，垂足为P，交 于点E，且 ， ．
（Ⅰ）求 的半径；
（Ⅱ）如图②，过点E作 的切线 ，连接 并延长与该切线交于点D，延长 交 于C，求 的长．
【答案】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，（负舍）
∴ ，
∴半径 为8．
（Ⅱ）∵ 为 的切线，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出
，再求出 ， 最后计算求解即可；
（Ⅱ）先求出
， 再根据
进行计算求解即可。
19．（2021·河东模拟）已知AB为 的直径，EF切 于点D，过点B作 于点H交 于点C，连接BD．
（1）如图①，若 ，求 的大小；
（2）如图②，若C为弧BD的中点，求 的大小．
【答案】（1）如图，连接OD．
由切线的性质结合题意可知 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（2）如图，连接OD、OC、CD．
∵OC=OD，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵C为 中点，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】切线的判定与性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，最后计算求解即可；
（2）先求出
， 再求出
，最后计算求解即可。
四、综合题
20．（2021九上·哈尔滨月考）已知， 内接于 ，AD、BD为 的弦，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过B作 的切线交AC的延长线于E，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，若 ， ， ，求CE的长度．
【答案】（1）证明：
∵
∴
∵
∴
∴ ；
（2）证明：连OB、OD，如图，
∵BE为切线
∴
∴ ，
∴
则
，
∴
（3）解：如图，连接 ，
是 的切线，
如图，延长AD交BC的延长线于G，作 于G， 于N， 于Q，延长AB至S，连接ES，使 ，作 于F， 于R，
∵ ，
设 ， ，则 ，
∴
∴
∴
∵
∴ ，
又
，
∵ ，设 ， ，
，则 ，
，
又
∴
∴ ，
∵
∴在 中， ，
在 中， ，
即
∴
∴ ，设 ，
∵
在 与 中，
∴
∴
解得：
∴
，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ∴ ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再证明求解即可；
（3）利用切线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理计算求解即可。
21．（2021九上·无棣期中）如图， 与等边 的边 ， 分别交于点 ， ， 是直径，过点 作 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径 与等边 的边长 之间的数量关系．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵等边 ，
∴∠A=∠B=60°，
∵ ，
∴△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴OD∥BC，
∵ ，
∴∠CFD=∠FDO=90°，
∵OD是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）可得 是 的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴△FDE是等边三角形，
∴DE=DF，
∵ ， 是直径，
∴ ，
∴△CDF≌△AED（AAS），
∴AE=CD=2r，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定；切线的性质
【解析】【分析】
(1)连接OD， 根据题意可得出 △AOD为等边三角形 ，利用∠AOD=∠B可得出 OD∥BC ，由平行线的性质结合 得出 ∠CFD=∠FDO=90°， 即可得证；
(2)连接DE，由（1） 及题意可知 ， ， 可得 △FDE是等边三角形， 进而DE=DF， 然后由 △CDF≌△AED 可知 AE=CD=2r， 即可得出结论。
22．（2021九上·鲅鱼圈期中）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A＝60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．
【答案】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD， ，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝6，∠DBC＝∠A＝60°，BC⊥OB，
∴OC＝12，
∵△OBC的面积＝ OC BE＝ OB BC，
∴BE＝ ，
∴BD＝2BE＝6 ，
即弦BD的长为6 ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OB，由垂径定理推论得出BE＝DE，OE⊥BD， ，由圆周角定理得出∠BOE＝∠DBC，证出∠OBE+∠DBC＝90°，得出∠OBC＝90°即可；
（2）由勾股定理求出oc，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长。
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