湘教版初中数学九年级下册2.5.3切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·滨城期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（ ）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
2．（2021·福建）如图， 为 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切，切点分别为C，D.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2021·道外模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O 的切线，A，B为切点，点C为AB左侧⊙O上一点，若∠P=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．（2021·道外模拟）如图， 、 为 的切线， 、 为切点，点 为弧 上一点，过点 作 的切线分别交 、 于 、 ，若 ，则 的周长等于（ ）．
A．6 B．12 C．9 D．18
6．（2021·龙湾模拟）如图， 和 是 的两条切线， ， 为切点，点 在 上，点 ， 分别在线段 和 上，且 ， .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江川模拟）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，则∠ACB的度数为（ ）
A．102° B．51° C．41° D．39°
8．（2021·泸县）如图， 的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与 相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
9．（2021·武汉模拟）如图，从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点， 为 上的一点，连接 交 于点 ，若 ， ， ，则 的半径长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·贺兰模拟）如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N.那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
11．（2021九上·长沙月考）如图，已知 ， 分别切⊙O于A、B， 切⊙O于E，若 ， ，则△ 周长为 .
12．（2021九上·高港月考）如图，PA、PB是 的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ °.
13．（2021·余杭模拟）如图， ， 是 的两条切线， ， 为切点，若 ， ，则 .
14．（2021·宁波模拟）如图，在 中， ，点 为边 上一动点，连结 .以 为圆心， 为半径作圆，交 于 ，过 作⊙O的切线，交 于点 .当⊙O与边 相切时， 的长为 .
15．（2021·阜宁模拟）如图，在 中， ，当半径为1的 在 内自由移动时，圆心 在 内所能到达的区域面积为6，则 的外接圆面积为 .
16．（2021·老河口模拟）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 .
三、解答题
17．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
18．（2021·香洲模拟）如图， ， 分别与⊙O相切于 ， 两点，点 在⊙O上，已知 ，求 的度数．
19．（2020九上·白云期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．
求证：OP平分∠AOB．
四、综合题
20．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB CD，BO＝6cm．CO＝8cm，
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求⊙O的半径．
21．（2021九上·福州月考）如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°.
（1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB= °；②BD= .
22．（2021·乐清模拟）如图，在 中， ，以 为直径作⊙O交 交于点 ，作切线 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交⊙O于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，在AB弧上任取一点C；
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
连接AC、BC，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝54°，
在四边形OAPB中，可得∠AOB＝126°；
则有①若C点在优弧AB上，则∠ACB＝63°；
②若C点在优劣弧AB上，则∠ACB＝180°-63°=117°．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OB，在AB弧上任取一点C；由PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AC、BC，得出∠OAP＝∠OBP＝90°，
在四边形OAPB中，可得∠AOB＝126°；则有①若C点在优弧AB上，②若C点在优劣弧AB上，分别求出∠ACB的度数即可。
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，
CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5.
∴ = =
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用切线的性质及切线长定理得出∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，根据圆周角定理∠COP＝2∠CAO，从而得出∠COP＝∠CAD，在Rt△COP中，利用勾股定理求出OP， 利用 = = 即得结论.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠C＝ ∠AOB＝65°，
故答案为：D．
【分析】先求出OA⊥PA，OB⊥PB，再求出∠AOB＝130°，最后计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵ 、 为 的切线，
所以 ，
又∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求三角形的周长即可。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 和 是 的两条切线， ， 为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△ADE≌△BFD，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理得到 ，即可得△ADE≌△BFD，再利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可求解.
7．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣78°＝102°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝ ×102°＝51°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠OAP＝∠OBP＝90°，再求出∠AOB=102°，最后计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴ ，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，利用已知易证四边形ABGD是矩形，利用矩形的性质可得到AD=BG，AB=DG=8，利用勾股定理求出CG的长；再根据CD=10，可求出BC的长；利用AAS证明△HAO≌△BCO，利用全等三角形的对应边相等，求出AD，HD的长；然后利用勾股定理求出BD的长，由AD∥BC，可证得△DHF∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出BF的长.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ， ，
∵从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点，
∴ ， ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， （不合题意舍去），
∴ 的半径长是 ，
故答案为：D.
【分析】利用切线长定理可证得PA=PB=9，∠BPO=∠APO，∠OBC=90°，再利用平行线的性质可证得∠COP=∠OPA=∠OPB，利用等角对等边可求出PC的长，从而可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于OD的方程，解方程求出OD的长，可得到圆的半径.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连OM，ON，如图
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴ ，
，
.
故答案为：B.
【分析】连OM，ON，利用切线长定理知OM，ON分别平分∠BMN，∠CNM，再利用三角形和四边形的内角和可求得△OBM与△NOC还有一组角相等，由此得到它们相似，通过相似比可解决问题.
11．【答案】24
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA＝ ，
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB；
同理可得：DA＝DE，CE＝CB.
∵△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，
∴△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝24.
故答案为：24.
【分析】由切线的性质可得PA⊥OA，由勾股定理求出PA，由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DE，CE＝CB，推出△PCD的周长＝2PA，据此求解.
12．【答案】219
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝ （180° 102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为：219.
【分析】连接AB，由切线长定理可得PA＝PB，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠PAB的度数，再根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”可求解.
13．【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠OPB＝ ∠APB＝30°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°，
∴OP＝2OB=2OA＝4，
在Rt△OPB中，依据勾股定理得：PB＝ ＝ = .
故答案为： .
【分析】 由切线长定理"从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠OPB＝∠APB，再结合圆的切线的性质和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OP=2OB，在Rt△OPB中，用勾股定理可求解.
14．【答案】
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当 与边 相切时，易证 且 .
设 ，则 .
易证 ，得 ，解得 .
【分析】由切线长定理可得DE=CE，设DE=CE=m，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACO，由相似三角形的对应边成比例可得比例式可求解.
15．【答案】25π
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
，
设 ， ， ，
，
是直角三角形，且 ，
由题意， ， ， 和 的两边相切，此时，点 所能到达的区域是 ，连接 、 、 ，
圆心 在 内所能到达的区域的面积为6，
，
， ， ，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
或 （舍 ，
， ， ，
设切点分别为 、 、 、 、 、 ，
连接 、 、 、 、 、 ，
得矩形 、矩形 、矩形 ，
， ， ，
根据切线长定理四边形 是正方形，
，
根据切线长定理，
设 ， ，
则 ，
，
，
，
，
解得 ， ，
， ， ，
，
的外接圆的半径 ，
的外接圆面积为25π，
故答案为：25π.
【分析】先判断出 是直角三角形，进而判断出 的面积是6，再判断出 ，进而求出 的三边，再用切线长定理得出 ， ， ，最后用 ，求出 ， ，进而求出 ， ， 即可得出结论.
16．【答案】65°或115°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
∴∠COD= （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°.
【分析】连接OA、OB、OE，利用切线的性质，可证得∠OAP=∠OBP=90°，OE⊥CD，利用四边形的内角和为360°，可求出∠AOB的度数，利用切线长定理可证得∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，由此可证得∠AOC=∠EOC，同理可证∠BOD=∠EOD，即可求出∠COD的度数；连接OA、OB、OE，同理可求出∠AOB的度数，即可求出∠COD的度数.
17．【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
18．【答案】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】连接OA、OB，PA、PB是⊙O切线，得出PA⊥OA，PB⊥OB，∠PAO=∠PBO=90°，由∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，得出∠P=180°-∠AOB，由此得出 的度数．
19．【答案】证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
即OP平分∠AOB．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；切线长定理
【解析】【分析】利用"HL"求证出Rt△OAP≌Rt△OBP，即可得出∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．
20．【答案】（1）证明：连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BO⊥CO；
（2）解：由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝ ＝10cm，
∵OF⊥BC，
∴OF＝ ＝4.8cm．
【知识点】三角形的面积；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，由AB∥CD，得出∠ABC+∠BCD＝180°，根据切线长定理得出∠OBE+∠OCF＝90°，从而证得∠BOC＝90°，从而得出结论；
（2）根据勾股定理求得BC的长，再根据OF⊥BC，即可得出OF的长。
21．【答案】（1）解：如图所示：⊙O即为所求；
（2）135；6
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】（2）解：由作图知，OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OAB= ∠CAB、∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA= (∠CAB+∠CBA)，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°；
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB= =10，
∵⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，
设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，
∵AF+CF=AC=6，
∴10-x+8-x=6，
解得：x=6，
故答案为：135；6.
【分析】（1）分别作∠A、∠B的角的平分线，它们的交点即为圆心O，然后过点O作AB的垂线，确定半径，从而作出内切圆即可；
（2）由角平分线的定义及三角形的内角和求出∠AOB的度数，利用勾股定理求出AB，由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，根据AF+CF=AC=6列出方程求出x即可.
22．【答案】（1）证明：连接CD，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵ED为⊙O的切线，
∴CE=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∵∠ECD+∠A=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=EC
（2）解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠CGB=90°，
∵BF⊥ED，
∴CG//EF，
∴△BGH∽△BFD，
∴ ，
∴ ，
∵EC=AE，DE∥CH，
∴AD=DH，
设DH=3x，则AD=3x，BH=2x，
∴3x+3x+2x=16，
∴x=2，
∴AD=6，BD=10，
∵∠CBD=∠ABC，∠CDB=∠ACB，
∴△CDB∽△ACB，
∴ ，
∴BC2=AB DB=10×16=160，
∴BC=4
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)由切线长定理得出CE=ED，再由圆周角定理得出∠ADC=90°，由直角三角形斜边中线的性质可得结论；
(2)先证明 △BGH∽△BFD， 由相似三角形的性质列比例式求出AD和BD的长， 设DH=3x， 根据AB=16列方程求解，再证明 △CDB∽△ACB， 根据相似的性质，列比例式求出BC，即可解答.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.5.3切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·滨城期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（ ）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，在AB弧上任取一点C；
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
连接AC、BC，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝54°，
在四边形OAPB中，可得∠AOB＝126°；
则有①若C点在优弧AB上，则∠ACB＝63°；
②若C点在优劣弧AB上，则∠ACB＝180°-63°=117°．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OB，在AB弧上任取一点C；由PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AC、BC，得出∠OAP＝∠OBP＝90°，
在四边形OAPB中，可得∠AOB＝126°；则有①若C点在优弧AB上，②若C点在优劣弧AB上，分别求出∠ACB的度数即可。
2．（2021·福建）如图， 为 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切，切点分别为C，D.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，
CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5.
∴ = =
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用切线的性质及切线长定理得出∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，根据圆周角定理∠COP＝2∠CAO，从而得出∠COP＝∠CAD，在Rt△COP中，利用勾股定理求出OP， 利用 = = 即得结论.
3．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
4．（2021·道外模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O 的切线，A，B为切点，点C为AB左侧⊙O上一点，若∠P=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠C＝ ∠AOB＝65°，
故答案为：D．
【分析】先求出OA⊥PA，OB⊥PB，再求出∠AOB＝130°，最后计算求解即可。
5．（2021·道外模拟）如图， 、 为 的切线， 、 为切点，点 为弧 上一点，过点 作 的切线分别交 、 于 、 ，若 ，则 的周长等于（ ）．
A．6 B．12 C．9 D．18
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵ 、 为 的切线，
所以 ，
又∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求三角形的周长即可。
6．（2021·龙湾模拟）如图， 和 是 的两条切线， ， 为切点，点 在 上，点 ， 分别在线段 和 上，且 ， .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 和 是 的两条切线， ， 为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△ADE≌△BFD，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理得到 ，即可得△ADE≌△BFD，再利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可求解.
7．（2021·江川模拟）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，则∠ACB的度数为（ ）
A．102° B．51° C．41° D．39°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣78°＝102°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝ ×102°＝51°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠OAP＝∠OBP＝90°，再求出∠AOB=102°，最后计算求解即可。
8．（2021·泸县）如图， 的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与 相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴ ，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，利用已知易证四边形ABGD是矩形，利用矩形的性质可得到AD=BG，AB=DG=8，利用勾股定理求出CG的长；再根据CD=10，可求出BC的长；利用AAS证明△HAO≌△BCO，利用全等三角形的对应边相等，求出AD，HD的长；然后利用勾股定理求出BD的长，由AD∥BC，可证得△DHF∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出BF的长.
9．（2021·武汉模拟）如图，从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点， 为 上的一点，连接 交 于点 ，若 ， ， ，则 的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ， ，
∵从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点，
∴ ， ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， （不合题意舍去），
∴ 的半径长是 ，
故答案为：D.
【分析】利用切线长定理可证得PA=PB=9，∠BPO=∠APO，∠OBC=90°，再利用平行线的性质可证得∠COP=∠OPA=∠OPB，利用等角对等边可求出PC的长，从而可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于OD的方程，解方程求出OD的长，可得到圆的半径.
10．（2021·贺兰模拟）如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N.那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连OM，ON，如图
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴ ，
，
.
故答案为：B.
【分析】连OM，ON，利用切线长定理知OM，ON分别平分∠BMN，∠CNM，再利用三角形和四边形的内角和可求得△OBM与△NOC还有一组角相等，由此得到它们相似，通过相似比可解决问题.
二、填空题
11．（2021九上·长沙月考）如图，已知 ， 分别切⊙O于A、B， 切⊙O于E，若 ， ，则△ 周长为 .
【答案】24
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA＝ ，
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB；
同理可得：DA＝DE，CE＝CB.
∵△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，
∴△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝24.
故答案为：24.
【分析】由切线的性质可得PA⊥OA，由勾股定理求出PA，由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DE，CE＝CB，推出△PCD的周长＝2PA，据此求解.
12．（2021九上·高港月考）如图，PA、PB是 的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ °.
【答案】219
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝ （180° 102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为：219.
【分析】连接AB，由切线长定理可得PA＝PB，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠PAB的度数，再根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”可求解.
13．（2021·余杭模拟）如图， ， 是 的两条切线， ， 为切点，若 ， ，则 .
【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠OPB＝ ∠APB＝30°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°，
∴OP＝2OB=2OA＝4，
在Rt△OPB中，依据勾股定理得：PB＝ ＝ = .
故答案为： .
【分析】 由切线长定理"从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠OPB＝∠APB，再结合圆的切线的性质和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OP=2OB，在Rt△OPB中，用勾股定理可求解.
14．（2021·宁波模拟）如图，在 中， ，点 为边 上一动点，连结 .以 为圆心， 为半径作圆，交 于 ，过 作⊙O的切线，交 于点 .当⊙O与边 相切时， 的长为 .
【答案】
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当 与边 相切时，易证 且 .
设 ，则 .
易证 ，得 ，解得 .
【分析】由切线长定理可得DE=CE，设DE=CE=m，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACO，由相似三角形的对应边成比例可得比例式可求解.
15．（2021·阜宁模拟）如图，在 中， ，当半径为1的 在 内自由移动时，圆心 在 内所能到达的区域面积为6，则 的外接圆面积为 .
【答案】25π
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
，
设 ， ， ，
，
是直角三角形，且 ，
由题意， ， ， 和 的两边相切，此时，点 所能到达的区域是 ，连接 、 、 ，
圆心 在 内所能到达的区域的面积为6，
，
， ， ，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
或 （舍 ，
， ， ，
设切点分别为 、 、 、 、 、 ，
连接 、 、 、 、 、 ，
得矩形 、矩形 、矩形 ，
， ， ，
根据切线长定理四边形 是正方形，
，
根据切线长定理，
设 ， ，
则 ，
，
，
，
，
解得 ， ，
， ， ，
，
的外接圆的半径 ，
的外接圆面积为25π，
故答案为：25π.
【分析】先判断出 是直角三角形，进而判断出 的面积是6，再判断出 ，进而求出 的三边，再用切线长定理得出 ， ， ，最后用 ，求出 ， ，进而求出 ， ， 即可得出结论.
16．（2021·老河口模拟）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 .
【答案】65°或115°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
∴∠COD= （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°.
【分析】连接OA、OB、OE，利用切线的性质，可证得∠OAP=∠OBP=90°，OE⊥CD，利用四边形的内角和为360°，可求出∠AOB的度数，利用切线长定理可证得∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，由此可证得∠AOC=∠EOC，同理可证∠BOD=∠EOD，即可求出∠COD的度数；连接OA、OB、OE，同理可求出∠AOB的度数，即可求出∠COD的度数.
三、解答题
17．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
18．（2021·香洲模拟）如图， ， 分别与⊙O相切于 ， 两点，点 在⊙O上，已知 ，求 的度数．
【答案】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】连接OA、OB，PA、PB是⊙O切线，得出PA⊥OA，PB⊥OB，∠PAO=∠PBO=90°，由∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，得出∠P=180°-∠AOB，由此得出 的度数．
19．（2020九上·白云期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．
求证：OP平分∠AOB．
【答案】证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
即OP平分∠AOB．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；切线长定理
【解析】【分析】利用"HL"求证出Rt△OAP≌Rt△OBP，即可得出∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．
四、综合题
20．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB CD，BO＝6cm．CO＝8cm，
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BO⊥CO；
（2）解：由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝ ＝10cm，
∵OF⊥BC，
∴OF＝ ＝4.8cm．
【知识点】三角形的面积；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，由AB∥CD，得出∠ABC+∠BCD＝180°，根据切线长定理得出∠OBE+∠OCF＝90°，从而证得∠BOC＝90°，从而得出结论；
（2）根据勾股定理求得BC的长，再根据OF⊥BC，即可得出OF的长。
21．（2021九上·福州月考）如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°.
（1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB= °；②BD= .
【答案】（1）解：如图所示：⊙O即为所求；
（2）135；6
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】（2）解：由作图知，OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OAB= ∠CAB、∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA= (∠CAB+∠CBA)，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°；
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB= =10，
∵⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，
设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，
∵AF+CF=AC=6，
∴10-x+8-x=6，
解得：x=6，
故答案为：135；6.
【分析】（1）分别作∠A、∠B的角的平分线，它们的交点即为圆心O，然后过点O作AB的垂线，确定半径，从而作出内切圆即可；
（2）由角平分线的定义及三角形的内角和求出∠AOB的度数，利用勾股定理求出AB，由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，根据AF+CF=AC=6列出方程求出x即可.
22．（2021·乐清模拟）如图，在 中， ，以 为直径作⊙O交 交于点 ，作切线 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交⊙O于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：连接CD，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵ED为⊙O的切线，
∴CE=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∵∠ECD+∠A=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=EC
（2）解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠CGB=90°，
∵BF⊥ED，
∴CG//EF，
∴△BGH∽△BFD，
∴ ，
∴ ，
∵EC=AE，DE∥CH，
∴AD=DH，
设DH=3x，则AD=3x，BH=2x，
∴3x+3x+2x=16，
∴x=2，
∴AD=6，BD=10，
∵∠CBD=∠ABC，∠CDB=∠ACB，
∴△CDB∽△ACB，
∴ ，
∴BC2=AB DB=10×16=160，
∴BC=4
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)由切线长定理得出CE=ED，再由圆周角定理得出∠ADC=90°，由直角三角形斜边中线的性质可得结论；
(2)先证明 △BGH∽△BFD， 由相似三角形的性质列比例式求出AD和BD的长， 设DH=3x， 根据AB=16列方程求解，再证明 △CDB∽△ACB， 根据相似的性质，列比例式求出BC，即可解答.
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