湘教版初中数学九年级下册2.5.4三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·呼和浩特月考）如图， 中， ，点 是 的内心，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据∠A=80°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可。
2．（2021·安次模拟）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为 的内心，
故答案为：C．
【分析】三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，即可求解。
3．（2021·长安模拟）如图，在 中， 平分 ，使用尺规作射线 ，与 交于点 ，下列判断正确的是（ ）
A． 平分
B．
C．点 是 的内心
D．点 到点 ， ， 的距离相等
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由作法得CD平分∠ACB，
∵AG平分∠CAB，
∴E点为△ABC的内心
故答案为：C．
【分析】先求出CD平分∠ACB，再根据AG平分∠CAB求解即可。
4．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， 是 的中点， 的延长线上的点 满足 . 的内切圆与边 ， 的切点分别为 ， ，延长 分别与 ， 的延长线交于 ， ，则 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】 取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，易证四边形AEOF是正方形，由正方形的性质得AE＝AF，由等边对等角得∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得求出AM＝MC=BM=BC，推出∠MCA＝∠MAC，根据∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，求出∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE＝∠APE＋∠AEP，∠MCA＝∠Q＋∠CFQ，由等式的性质得∠Q＝∠NPQ，由等角对等边得PN＝NQ即可求解．
5．（2020九上·张店期末）如图，在 中， ， ， ，⊙O是 的内切圆，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图， ， ， ，
，
设 三边内切 于点 、 、 ，连接 、 、 ，
， ， ，且 ，
连接 、 、 ，
，
即 ，
，
解得 ．
的内切圆 的半径 为1．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求得AC的值，设 三边内切 于点 、 、 ，连接 、 、 ，可得 ， ， ，且 ，由 ，列方程即可求解。
6．（2020九上·禹城期末）如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝（ ）
A．59° B．31° C．124° D．121°
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连OB、OC
∵∠BAC=62°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×118°=59°，
∴∠BOC=180°-59°=121°．
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=118°，再求出∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，最后计算求解即可。
7．（2020九上·曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若 ，则∠EDF的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵∠B=65°，∠C=75°，
∴∠A=180°-65°-75°=40°
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=140°，
∴∠EDF= ∠FIE= ×140°=70°．
故答案为：D．
【分析】连接IF，IE，如图，根据切线的性质得出∠A=180°-65°-75°=40°利用内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，得出IF⊥AB，IE⊥AC，由∠A=40°，得出∠FIE=140°，由此得出∠EDF的度数。
8．（2021九上·金昌期末）在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠IBC与∠ICB之和，再由内心的性质可知BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，从而求出ABC与∠ACB角度之和，最后在△ABC中利用三角形内角和定理求解即可.
二、填空题
9．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切点分别为D、E、F，且 ， ， ，则圆O的半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为 的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【分析】利用勾股求出AC，然后利用 ，得到关于半径的方程，求解即可得出答案。
10．（2021九上·宁波期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径是 cm．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设三角形内切圆的半径为r，三边长为a、b、c，
∴S△ABC=（a+b+c）r，
∴×24×r=24，
∴r=2.
故答案为：2.
【分析】设三角形内切圆的半径为r，三边长为a、b、c，则得S△ABC=（a+b+c）r，然后代入数值计算即可.
11．（2021九上·高港月考）若方程x2-7x+12=0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为 .
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，内切圆半径为r，
，
解得 .
∵方程 的两个根分别是直角三角形两直角边的长，
∴
∵ ，
∴ ，
故答案为：1.
【分析】由题意先解一元二次方程求得两直角边的长，用勾股定理求得斜边的值，再根据直角三角形的面积的两种计算可得关于半径r的方程，解方程可求解.
12．（2021·顺德模拟）如图，在四边形 中， ．若 ，则 的内切圆面积 （结果保留 ）．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设 与 交于点F， 的内心为O，连接 ．
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵O为 的内心，
∴ ．
∴ ．
∴ 的内切圆面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据 ，得出 为 的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得 ，进而得出 为等边三角形；利用 ，得出 为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形 的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
13．（2020九上·中山期末）如图， ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，若∠B＝50°，则∠EDF＝ 度．
【答案】65
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设△ABC的内切圆圆心为O，连接OE，OF，
∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠EOF＝180°﹣50°＝130°，
∴∠EDF＝ ∠EOF＝65°．
故答案为：65．
【分析】先求出∠OEB＝∠OFB＝90°，再求出∠EOF＝130°，最后计算求解即可。
14．（2020九上·仁化期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为 ．
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，
在 中，由勾股定理得，
连接 ，
设 的半径是 ，
则 ，
由三角形面积公式得，
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理先求出AB=5，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
三、解答题
15．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
16．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
17．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
四、综合题
18．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
19．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
20．小明所在数学兴趣小组，计划用尺规作图作直角三角形，且这个直角三角形的一条边为2倍的单位长度，另一条边为4倍的单位长度．
（1）请你帮忙小明作出所有满足条件的直角三角形（全等的图形记为1个）；
（2）求所得直角三角形内切圆的半径长．
【答案】（1）解：依照题意画出图形，如下图所示：
4倍单位长度为直角边；4倍单位长度为斜边．
（2）解：设直角三角形内切圆的半径长x．
① 当4倍单位长度为直角边时，有（2﹣x）+（4﹣x）= ，
解得：x=3﹣ ；
②当4倍单位长度为斜边时，有（2﹣x）+（ ﹣x）=4，
解得：x= ﹣1．
故所得直角三角形内切圆的半径长为3﹣ 或 ﹣1．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的方法画出图形（分为4倍单位长度为直角边和4倍单位长度为斜边两种情况）；（2）设直角三角形内切圆的半径长x．分两种情况根据内切圆的性质以及勾股定理得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.5.4三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·呼和浩特月考）如图， 中， ，点 是 的内心，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安次模拟）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·长安模拟）如图，在 中， 平分 ，使用尺规作射线 ，与 交于点 ，下列判断正确的是（ ）
A． 平分
B．
C．点 是 的内心
D．点 到点 ， ， 的距离相等
4．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， 是 的中点， 的延长线上的点 满足 . 的内切圆与边 ， 的切点分别为 ， ，延长 分别与 ， 的延长线交于 ， ，则 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
5．（2020九上·张店期末）如图，在 中， ， ， ，⊙O是 的内切圆，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2020九上·禹城期末）如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝（ ）
A．59° B．31° C．124° D．121°
7．（2020九上·曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若 ，则∠EDF的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·金昌期末）在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
二、填空题
9．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切点分别为D、E、F，且 ， ， ，则圆O的半径为 ．
10．（2021九上·宁波期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径是 cm．
11．（2021九上·高港月考）若方程x2-7x+12=0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为 .
12．（2021·顺德模拟）如图，在四边形 中， ．若 ，则 的内切圆面积 （结果保留 ）．
13．（2020九上·中山期末）如图， ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，若∠B＝50°，则∠EDF＝ 度．
14．（2020九上·仁化期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为 ．
三、解答题
15．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
16．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
17．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
四、综合题
18．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
19．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
20．小明所在数学兴趣小组，计划用尺规作图作直角三角形，且这个直角三角形的一条边为2倍的单位长度，另一条边为4倍的单位长度．
（1）请你帮忙小明作出所有满足条件的直角三角形（全等的图形记为1个）；
（2）求所得直角三角形内切圆的半径长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据∠A=80°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为 的内心，
故答案为：C．
【分析】三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，即可求解。
3．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由作法得CD平分∠ACB，
∵AG平分∠CAB，
∴E点为△ABC的内心
故答案为：C．
【分析】先求出CD平分∠ACB，再根据AG平分∠CAB求解即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】 取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，易证四边形AEOF是正方形，由正方形的性质得AE＝AF，由等边对等角得∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得求出AM＝MC=BM=BC，推出∠MCA＝∠MAC，根据∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，求出∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE＝∠APE＋∠AEP，∠MCA＝∠Q＋∠CFQ，由等式的性质得∠Q＝∠NPQ，由等角对等边得PN＝NQ即可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图， ， ， ，
，
设 三边内切 于点 、 、 ，连接 、 、 ，
， ， ，且 ，
连接 、 、 ，
，
即 ，
，
解得 ．
的内切圆 的半径 为1．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求得AC的值，设 三边内切 于点 、 、 ，连接 、 、 ，可得 ， ， ，且 ，由 ，列方程即可求解。
6．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连OB、OC
∵∠BAC=62°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×118°=59°，
∴∠BOC=180°-59°=121°．
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=118°，再求出∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，最后计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵∠B=65°，∠C=75°，
∴∠A=180°-65°-75°=40°
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=140°，
∴∠EDF= ∠FIE= ×140°=70°．
故答案为：D．
【分析】连接IF，IE，如图，根据切线的性质得出∠A=180°-65°-75°=40°利用内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，得出IF⊥AB，IE⊥AC，由∠A=40°，得出∠FIE=140°，由此得出∠EDF的度数。
8．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠IBC与∠ICB之和，再由内心的性质可知BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，从而求出ABC与∠ACB角度之和，最后在△ABC中利用三角形内角和定理求解即可.
9．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为 的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【分析】利用勾股求出AC，然后利用 ，得到关于半径的方程，求解即可得出答案。
10．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设三角形内切圆的半径为r，三边长为a、b、c，
∴S△ABC=（a+b+c）r，
∴×24×r=24，
∴r=2.
故答案为：2.
【分析】设三角形内切圆的半径为r，三边长为a、b、c，则得S△ABC=（a+b+c）r，然后代入数值计算即可.
11．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，内切圆半径为r，
，
解得 .
∵方程 的两个根分别是直角三角形两直角边的长，
∴
∵ ，
∴ ，
故答案为：1.
【分析】由题意先解一元二次方程求得两直角边的长，用勾股定理求得斜边的值，再根据直角三角形的面积的两种计算可得关于半径r的方程，解方程可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设 与 交于点F， 的内心为O，连接 ．
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵O为 的内心，
∴ ．
∴ ．
∴ 的内切圆面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据 ，得出 为 的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得 ，进而得出 为等边三角形；利用 ，得出 为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形 的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
13．【答案】65
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设△ABC的内切圆圆心为O，连接OE，OF，
∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠EOF＝180°﹣50°＝130°，
∴∠EDF＝ ∠EOF＝65°．
故答案为：65．
【分析】先求出∠OEB＝∠OFB＝90°，再求出∠EOF＝130°，最后计算求解即可。
14．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，
在 中，由勾股定理得，
连接 ，
设 的半径是 ，
则 ，
由三角形面积公式得，
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理先求出AB=5，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
15．【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
16．【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
17．【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
18．【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
19．【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
20．【答案】（1）解：依照题意画出图形，如下图所示：
4倍单位长度为直角边；4倍单位长度为斜边．
（2）解：设直角三角形内切圆的半径长x．
① 当4倍单位长度为直角边时，有（2﹣x）+（4﹣x）= ，
解得：x=3﹣ ；
②当4倍单位长度为斜边时，有（2﹣x）+（ ﹣x）=4，
解得：x= ﹣1．
故所得直角三角形内切圆的半径长为3﹣ 或 ﹣1．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的方法画出图形（分为4倍单位长度为直角边和4倍单位长度为斜边两种情况）；（2）设直角三角形内切圆的半径长x．分两种情况根据内切圆的性质以及勾股定理得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
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