湘教版初中数学九年级下册2.7正多边形与圆 同步练习
一、单选题
1．（2020·日喀则模拟）下列命题是假命题的是（ ）
A．半径为R的圆内接正方形的边长等于
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．正八边形是轴对称图形
D．正七边形是中心对称图形
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】A、半径为R的圆内接正方形的边长等于 ，正确，是真命题；
B、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题；
C、正八边形是轴对称图形，正确，是真命题；
D、正七边形I不是中心对称图形，故错误，是假命题；
故答案为：D.
【分析】根据正多边形的对称性、正多边形与圆、正多边形的中心角逐一判断即可.
2．（2019·上海模拟）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A．1： B． ：1 C． ：2 D．2：
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝ R，
∴R：r＝1： ＝2： ，
故答案为：D．
【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的 倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.
3．（2019九上·江北期末）如图，在 内（含边界）放置六个全等的正方形，这些正方形均有两个顶点在圆上，另两个顶点分别紧靠相邻正方形的顶点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接FB.
由题意：∠MEB=∠FEN=90°，∠MEN=120°，
∴∠BEF=360°-120°-90°-90°=60°，
∵EB=EF，
∴△BEF是等边三角形，
∴AB=BF，
∴弧AB=弧BF，
∴∠AOB= =30°，
∴cos∠AOB= 。
故答案为：C。
【分析】如图，连接FB，根据正方形的性质及正六边形的性质∠MEB=∠FEN=90°，∠MEN=120°，根据周角的定义得出∠BEF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△BEF是等边三角形，根据等边三角形的性质及正方形的性质得出AB=BF，根据同圆中等弦所对的弧相等得出弧AB=弧BF，从而即可得出弧AB应该是圆周的12等份中的一份，进而根据圆心角与弧的度数的关系得出∠AOB的度数，进而根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
4．（2021九上·罗庄期中）以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图1，
∵ 为圆内接正三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
如图2，
∵四边形 是圆内接正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
如图3，
∵正六边形为圆内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 该三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为
故答案为：C
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形，分别求出边心距离的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而得到它的面积。
5．（2021九上·温州期中）如图，正六边形ABCDEF与正方形BMEN均内接于⊙O，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：过点O作OK⊥BN于点K，连接OB，OA，
设圆的半径为R
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=R，
∵正方形ABCD，
∴∠BOK=∠OBN=45°，
OK=BK
∴2BK2=R2
解之：
∴BN=
∴.
故答案为：C.
【分析】过点O作OK⊥BN于点K，连接OB，OA，利用正六边形的性质可证得OA=OB，同时可求出∠AOB的度数，可推出△AOB是等边三角形，可得到AB=R；再利用正方形的性质可证得OK=BK，利用勾股定理表示出BK的长，同时可表示出BN的长；然后求出AB与BN的比值.
6．（2021九上·江干期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；
任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；
任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确；
等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质、正多边形与圆、多边形内角和公式及外角和分别进行判断即可.
7．（2021九上·平阳期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结AG，CF，AG交CF于点P，AP=2 ， 则 =（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，
∴∠AHF=∠GQP=∠AHP=90°
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOF=∠CFA=360°÷6=60°，
∴∠FAH=90°-60°=30°
∵弧AF=弧AF，
∴∠FGA=∠AOF=30°，
∠FAP=（180°-∠FGA）÷2=75°；
∴∠HAP=∠FAP-∠FAH=45°
∴△AHP是等腰直角三角形，
∴AH=HP=
∴在Rt△AFH中
，
∴OF=AF=OC=4，
CG是正十二边形的一边，
∠COG=360°÷12=30°，
∴GQ=OG=2，
∴；
∴CQ=OC-OQ=4-
∵∠HPA=∠GPQ=∠PGQ=45°，
∴CQ=PQ=2
∴CP=PQ+CQ=4-+2=6-
∴.
故答案为：D.
【分析】连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，利用正六边形的性质可求出∠AOF=∠CFA=60°，从而可求出∠FAH的度数，再利用圆周角定理可求出∠FGA的度数；再证明△AHP，△GPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出AH，HP的长， 在Rt△AFH中，利用解直角三角形求出AF的长，即可得到OF=AF=OC=4；再利用CG是正十二边形的一边，可求出∠COG的度数，利用解直角三角形求出OQ的长，即可得到CQ的长，同时可求出PQ，CQ的长；然后根据CP=PQ+CQ，代入计算求出CP的长；最后求出AP与CP的比值.
8．（2021九上·宁波月考）如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，将该六边形绕着中心 O 旋转 α 后能与原图形重合，那么 α 的最小值是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF，
∴中心角为360°÷6=60°，
∴将该六边形绕着中心 O 旋转 α 后能与原图形重合，那么 α 的最小值是60°.
故答案为：B.
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用旋转的性质可得答案.
9．（2021九上·上城月考）如图，正五边形 内接于 ，则 的度数是（ ）
A．36° B．26° C．30° D．45°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，OE，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠DOE= =72°，
∴ = ∠DOE=36°，
故答案为：A.
【分析】连接OD，OE，先求出圆心角∠DOE的度数，根据圆周角定理可得∠DAE=∠DOE，据此求出结论即可.
10．（2021·绍兴）如图，正方形ABCD内接于 ，点P在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于 ，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可知∠BOC为90°，然后根据同圆中圆周角和圆心角的关系求∠P即可.
二、填空题
11．（2021九上·天心期中）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为 cm，则该正六边形的面积为 cm2.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为 cm，
∴OA＝OB＝AB＝2 cm，
∴OH＝OA cos30°＝2 × ＝3（cm），
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6× × ＝18 （cm）2.
故答案为：18 .
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，根据圆内接正六边形的边长等于圆的半径，得出OA＝OB＝AB＝2 cm，利用锐角三角函数定义得出OH＝OA cos30°＝3cm，根据S正六边形ABCDEF＝6S△OAB代入数值进行计算，即可得出答案.
12．（2021九上·余姚期中）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接EB，AD，
设⊙O的半径为r，
⊙O的面积S＝πr2，
∵正六边形ABCDEF，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，
∴弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，
弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO＋S△ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO、△AOB是全等的等边三角形，
∴AB=r
过点O作OM⊥AB于点M，
∴AM=R
∴
∴阴影部分的面积＝
∴圆O的面积与阴影区域的面积的比值为.
故答案为：.
【分析】连接EB，AD，设⊙O的半径为r，利用圆的面积公式可求出圆O的面积；再利用正六边形的性质，结合已知条件可知弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，由此可证得图中阴影部分的面积＝S△EDO＋S△ABO，同时可证得△EDO、△AOB是全等的等边三角形，可得到阴影部分的面积=2S△ABO；然后利用等边三角形的性质和勾股定理求出OM的长，即可求出阴影部分的面积，由此可求出圆O的面积与阴影区域的面积的比值.
13．（2021九上·鹿城月考）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，连接BE，则∠ABE的度数为 度.
【答案】36
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵在正五边形ABCDE中，∠A＝ ×（5 2）×180＝108°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝ （180° 108°）＝36°.
故答案为：36.
【分析】根据正多边形的性质以及内角和公式可得∠A的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解.
14．（2021九上·福州月考）如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为 .
【答案】40
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，
∴△ODE的面积= ×△ADE的面积= ×10=5，
圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成.
则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40，
故答案为：40.
【分析】取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，可得△ODE的面积= ×△ADE的面积=5，由于圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成，据此即可求出结论.
15．（2021·梧州）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 cm.
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接 过 作 于
正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为 的中点，
同理：
六边形GHKLMN的周长是
故答案为：
【分析】连接AE，过点F作FT⊥AE于点T，利用正六边形ABCDEF的周长是24cm，可求出此正六边形的边长，同时可求出∠AFE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠FAE的度数；利用解直角三角形求出ET的长；再利用三角形的中位线定理求出NM的长，然后求出六边形GHKLMN的周长.
三、解答题
16．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
17．（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
【答案】解：连AC，则AC为直径，即AC=20，
∵正方形ABCD中，
AB=BC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
2AB2=202，
∴AB2=200，
= =（25π﹣50）米2．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【分析】连AC，易证AC是圆的直径，利用勾股定理，在Rt△ABC中，求出AB2，再由，计算可求解。
四、综合题
19．（2021·云岩模拟）如图，正方形 内接于 ， 为 上的一点，连接 ， .
（1）求 的度数；
（2）当点 为 的中点时， 是 的内接正 边形的一边，求 的值.
【答案】（1）解：连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ .
∴
（2）解：连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ .
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴ ，
∴ .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1） 连接 ， ， 由圆周角定理即可得出结果；
（2） 连接 ， ，正方形 内接于 ，点 为 的中点，即可得出 ， 利用正多边性的性质可以得出n的值.
20．（2021九上·武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE=DE；
（2）若CE=1，求四边形AECD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ .
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AE=DE.
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC.
∵∠EDF=90°，
∴∠F=90°﹣45°=45°，
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE，EC=1，
∴1+DE= DE，
∴DE= +1，
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=CD，可推出弧AB=弧CD，再根据E是 的中，可推出弧AE=弧DE，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论；
（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.，利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，再证明DE=DF，∠ADE=∠CDF；再利用AAS证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得AE=CF，S△ADE=S△CDF，可推出S四边形AECD=S△DEF；据此建立关于DE的方程，解方程求出DE的长，根据 S△DEF= DE2，代入计算求出△DEF的面积.
21．（2020九上·临江期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）；
（3）
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出 ，再由圆周角定理即可求出∠MON的度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.7正多边形与圆 同步练习
一、单选题
1．（2020·日喀则模拟）下列命题是假命题的是（ ）
A．半径为R的圆内接正方形的边长等于
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．正八边形是轴对称图形
D．正七边形是中心对称图形
2．（2019·上海模拟）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A．1： B． ：1 C． ：2 D．2：
3．（2019九上·江北期末）如图，在 内（含边界）放置六个全等的正方形，这些正方形均有两个顶点在圆上，另两个顶点分别紧靠相邻正方形的顶点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·罗庄期中）以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2021九上·温州期中）如图，正六边形ABCDEF与正方形BMEN均内接于⊙O，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·江干期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
7．（2021九上·平阳期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结AG，CF，AG交CF于点P，AP=2 ， 则 =（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2021九上·宁波月考）如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，将该六边形绕着中心 O 旋转 α 后能与原图形重合，那么 α 的最小值是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
9．（2021九上·上城月考）如图，正五边形 内接于 ，则 的度数是（ ）
A．36° B．26° C．30° D．45°
10．（2021·绍兴）如图，正方形ABCD内接于 ，点P在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·天心期中）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为 cm，则该正六边形的面积为 cm2.
12．（2021九上·余姚期中）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ．
13．（2021九上·鹿城月考）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，连接BE，则∠ABE的度数为 度.
14．（2021九上·福州月考）如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为 .
15．（2021·梧州）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 cm.
三、解答题
16．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
17．（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
四、综合题
19．（2021·云岩模拟）如图，正方形 内接于 ， 为 上的一点，连接 ， .
（1）求 的度数；
（2）当点 为 的中点时， 是 的内接正 边形的一边，求 的值.
20．（2021九上·武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE=DE；
（2）若CE=1，求四边形AECD的面积.
21．（2020九上·临江期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】A、半径为R的圆内接正方形的边长等于 ，正确，是真命题；
B、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题；
C、正八边形是轴对称图形，正确，是真命题；
D、正七边形I不是中心对称图形，故错误，是假命题；
故答案为：D.
【分析】根据正多边形的对称性、正多边形与圆、正多边形的中心角逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝ R，
∴R：r＝1： ＝2： ，
故答案为：D．
【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的 倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接FB.
由题意：∠MEB=∠FEN=90°，∠MEN=120°，
∴∠BEF=360°-120°-90°-90°=60°，
∵EB=EF，
∴△BEF是等边三角形，
∴AB=BF，
∴弧AB=弧BF，
∴∠AOB= =30°，
∴cos∠AOB= 。
故答案为：C。
【分析】如图，连接FB，根据正方形的性质及正六边形的性质∠MEB=∠FEN=90°，∠MEN=120°，根据周角的定义得出∠BEF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△BEF是等边三角形，根据等边三角形的性质及正方形的性质得出AB=BF，根据同圆中等弦所对的弧相等得出弧AB=弧BF，从而即可得出弧AB应该是圆周的12等份中的一份，进而根据圆心角与弧的度数的关系得出∠AOB的度数，进而根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图1，
∵ 为圆内接正三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
如图2，
∵四边形 是圆内接正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
如图3，
∵正六边形为圆内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 该三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为
故答案为：C
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形，分别求出边心距离的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而得到它的面积。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：过点O作OK⊥BN于点K，连接OB，OA，
设圆的半径为R
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=R，
∵正方形ABCD，
∴∠BOK=∠OBN=45°，
OK=BK
∴2BK2=R2
解之：
∴BN=
∴.
故答案为：C.
【分析】过点O作OK⊥BN于点K，连接OB，OA，利用正六边形的性质可证得OA=OB，同时可求出∠AOB的度数，可推出△AOB是等边三角形，可得到AB=R；再利用正方形的性质可证得OK=BK，利用勾股定理表示出BK的长，同时可表示出BN的长；然后求出AB与BN的比值.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；
任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；
任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确；
等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质、正多边形与圆、多边形内角和公式及外角和分别进行判断即可.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，
∴∠AHF=∠GQP=∠AHP=90°
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOF=∠CFA=360°÷6=60°，
∴∠FAH=90°-60°=30°
∵弧AF=弧AF，
∴∠FGA=∠AOF=30°，
∠FAP=（180°-∠FGA）÷2=75°；
∴∠HAP=∠FAP-∠FAH=45°
∴△AHP是等腰直角三角形，
∴AH=HP=
∴在Rt△AFH中
，
∴OF=AF=OC=4，
CG是正十二边形的一边，
∠COG=360°÷12=30°，
∴GQ=OG=2，
∴；
∴CQ=OC-OQ=4-
∵∠HPA=∠GPQ=∠PGQ=45°，
∴CQ=PQ=2
∴CP=PQ+CQ=4-+2=6-
∴.
故答案为：D.
【分析】连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，利用正六边形的性质可求出∠AOF=∠CFA=60°，从而可求出∠FAH的度数，再利用圆周角定理可求出∠FGA的度数；再证明△AHP，△GPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出AH，HP的长， 在Rt△AFH中，利用解直角三角形求出AF的长，即可得到OF=AF=OC=4；再利用CG是正十二边形的一边，可求出∠COG的度数，利用解直角三角形求出OQ的长，即可得到CQ的长，同时可求出PQ，CQ的长；然后根据CP=PQ+CQ，代入计算求出CP的长；最后求出AP与CP的比值.
8．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF，
∴中心角为360°÷6=60°，
∴将该六边形绕着中心 O 旋转 α 后能与原图形重合，那么 α 的最小值是60°.
故答案为：B.
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用旋转的性质可得答案.
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，OE，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠DOE= =72°，
∴ = ∠DOE=36°，
故答案为：A.
【分析】连接OD，OE，先求出圆心角∠DOE的度数，根据圆周角定理可得∠DAE=∠DOE，据此求出结论即可.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于 ，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可知∠BOC为90°，然后根据同圆中圆周角和圆心角的关系求∠P即可.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为 cm，
∴OA＝OB＝AB＝2 cm，
∴OH＝OA cos30°＝2 × ＝3（cm），
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6× × ＝18 （cm）2.
故答案为：18 .
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，根据圆内接正六边形的边长等于圆的半径，得出OA＝OB＝AB＝2 cm，利用锐角三角函数定义得出OH＝OA cos30°＝3cm，根据S正六边形ABCDEF＝6S△OAB代入数值进行计算，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接EB，AD，
设⊙O的半径为r，
⊙O的面积S＝πr2，
∵正六边形ABCDEF，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，
∴弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，
弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO＋S△ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO、△AOB是全等的等边三角形，
∴AB=r
过点O作OM⊥AB于点M，
∴AM=R
∴
∴阴影部分的面积＝
∴圆O的面积与阴影区域的面积的比值为.
故答案为：.
【分析】连接EB，AD，设⊙O的半径为r，利用圆的面积公式可求出圆O的面积；再利用正六边形的性质，结合已知条件可知弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，由此可证得图中阴影部分的面积＝S△EDO＋S△ABO，同时可证得△EDO、△AOB是全等的等边三角形，可得到阴影部分的面积=2S△ABO；然后利用等边三角形的性质和勾股定理求出OM的长，即可求出阴影部分的面积，由此可求出圆O的面积与阴影区域的面积的比值.
13．【答案】36
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵在正五边形ABCDE中，∠A＝ ×（5 2）×180＝108°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝ （180° 108°）＝36°.
故答案为：36.
【分析】根据正多边形的性质以及内角和公式可得∠A的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解.
14．【答案】40
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，
∴△ODE的面积= ×△ADE的面积= ×10=5，
圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成.
则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40，
故答案为：40.
【分析】取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，可得△ODE的面积= ×△ADE的面积=5，由于圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成，据此即可求出结论.
15．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接 过 作 于
正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为 的中点，
同理：
六边形GHKLMN的周长是
故答案为：
【分析】连接AE，过点F作FT⊥AE于点T，利用正六边形ABCDEF的周长是24cm，可求出此正六边形的边长，同时可求出∠AFE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠FAE的度数；利用解直角三角形求出ET的长；再利用三角形的中位线定理求出NM的长，然后求出六边形GHKLMN的周长.
16．【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
17．【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
18．【答案】解：连AC，则AC为直径，即AC=20，
∵正方形ABCD中，
AB=BC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
2AB2=202，
∴AB2=200，
= =（25π﹣50）米2．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【分析】连AC，易证AC是圆的直径，利用勾股定理，在Rt△ABC中，求出AB2，再由，计算可求解。
19．【答案】（1）解：连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ .
∴
（2）解：连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ .
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴ ，
∴ .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1） 连接 ， ， 由圆周角定理即可得出结果；
（2） 连接 ， ，正方形 内接于 ，点 为 的中点，即可得出 ， 利用正多边性的性质可以得出n的值.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ .
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AE=DE.
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC.
∵∠EDF=90°，
∴∠F=90°﹣45°=45°，
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE，EC=1，
∴1+DE= DE，
∴DE= +1，
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=CD，可推出弧AB=弧CD，再根据E是 的中，可推出弧AE=弧DE，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论；
（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.，利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，再证明DE=DF，∠ADE=∠CDF；再利用AAS证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得AE=CF，S△ADE=S△CDF，可推出S四边形AECD=S△DEF；据此建立关于DE的方程，解方程求出DE的长，根据 S△DEF= DE2，代入计算求出△DEF的面积.
21．【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）；
（3）
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出 ，再由圆周角定理即可求出∠MON的度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。
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