24.1.4圆周角定理
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课件37张PPT。23.1 圆周角 复习旧知：我们是如何给圆心角下定义的？顶点在圆心的角叫圆心角。 考考你：你能仿照圆心角的定义，
给∠ACB 这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ oABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC图1图2图3图4图5图6图7图8图9∠DAB 、 ∠ADB、∠DBA 练一练1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
3、图3中有几个圆周角？（ ）
（A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。BC2、写出图2中的圆周角：________________________如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？
如果同学丙丁分别站
在他靠墙的位置
D和E，他们的视角
（ ∠ADB和∠AEB ）和
同学乙的视角相同吗？·二、观察AB甲（O）乙（C）丙（D）丁（E）玻璃当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.你能发现什么规律？在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？
2.这些圆周角的度数是否发生变化？（用量角器量量看）
3.同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？（用量角器量量看）（画图观察）思考以下问题：探索2:（有无数个）（同一条弧所对的圆周角相等）探究怎样证明同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于该弧所对的圆心角的一半？ 做一做 在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的
位置关系有几种情况？
分三种情况来证明：
（1）圆心在∠BAC的一边上。
∴ ∠A=∠C证明：∵OA=OC 又∵∠BOC= ∠A +∠C
∴∠BOC=2 ∠A
即∠A = ∠BOC（2）圆心在∠BAC的内部。（3）圆心在∠BAC的外部。D 综上所述，我们可以得到：圆周角定理: 在同圆 中，同弧 所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的一半。 或等圆或等弧相等，思考:
相等的圆周角所对的弧相等吗?
答：一定相等。在同圆或等圆中，练习:2.试找出下图中所有相等的圆周角。 ∠2=∠7∠1=∠4∠3=∠6∠5=∠8练一练3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°D4、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°B练一练5、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°B6、如图，△ABC的顶点A、B、C
在⊙O上，∠C＝30 °，AB=2，
则⊙O的半径是 。解：连接OA、OB∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，半径是2。23.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。 4.已知,四边形ABCD的顶点在⊙O上, ∠BCD=120°,则∠BOD 。探索3如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想想看，∠ACB会是怎样的角？思考
90°的圆周角所对的弦是什么? 从而得出结论：
90°的圆周角所对的弦是直径半圆（或直径）所对的圆周角是直角例题1、 如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD有什么关系.为什么?变:若AC交⊙O于点E,
求证:CD=DE=BD 例题2、如图,已知A、B、C、D、E 均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，求
∠A+ ∠B+ ∠C的值。圆内接多边形与多边形的外接圆：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；
这个圆叫做这个多边形的外接圆.例如：如图，四边形ABCD是⊙O的 ；
⊙O是四边形ABCD的 .探究：圆内接四边形ABCD的对角∠B与∠D有什么关系？6、证明：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，求证：∠B+∠D=1800结论：圆的内接四边形对角互补。如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
和∠BAD的大小。变形题：已知ABC三点在圆O上，依次连接ABCO，若∠AOC=140度，求∠B的度数。110度已知圆心角可构造同弧所对的圆周角.DＯＣＢＡＤ例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.七、例题2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DOOO·方法一方法二方法三方法四AB使用帮助求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证： △ABC 为直角三角形.证明：CO= AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB= ×180°= 90°.∴ △ABC 为直角三角形.练 习综合练习一：
一、判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（ ）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）1、100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32o，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60o的圆周角所对的弧的度数是30o
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120o的弧所对的圆周角是60oB
100o50o36o或144o64o100oD综合练习二6、如图,在⊙O中,∠BOC =50°,则∠A的度数为 。.7、已知：△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠AOB的度数为 。
8、已知⊙O中弦AB的等于半径，求 弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为60度圆周角为 30 度或 150 度。25014009、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.40°10、如图，BD为⊙O的直径,∠A=30°，BC=4,则BD=_______5008探究3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。∴△ABC是锐角三角形解：（1）AB=AC。证明：连接AD又∵DC=BD，∴AB=AC。（2）△ABC是锐角三角形。由（1）知，∠B=∠C＜90 °连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °∵AB是直径，∴∠ADB=90°，实践应用：
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？小结：
1、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径.
3、圆的内接四边形对角互补。
（在圆中，常作直径，构造直角三角形）
给∠ACB 这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ oABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC图1图2图3图4图5图6图7图8图9∠DAB 、 ∠ADB、∠DBA 练一练1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
3、图3中有几个圆周角？（ ）
（A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。BC2、写出图2中的圆周角：________________________如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？
如果同学丙丁分别站
在他靠墙的位置
D和E，他们的视角
（ ∠ADB和∠AEB ）和
同学乙的视角相同吗？·二、观察AB甲（O）乙（C）丙（D）丁（E）玻璃当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.你能发现什么规律？在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？
2.这些圆周角的度数是否发生变化？（用量角器量量看）
3.同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？（用量角器量量看）（画图观察）思考以下问题：探索2:（有无数个）（同一条弧所对的圆周角相等）探究怎样证明同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于该弧所对的圆心角的一半？ 做一做 在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的
位置关系有几种情况？
分三种情况来证明：
（1）圆心在∠BAC的一边上。
∴ ∠A=∠C证明：∵OA=OC 又∵∠BOC= ∠A +∠C
∴∠BOC=2 ∠A
即∠A = ∠BOC（2）圆心在∠BAC的内部。（3）圆心在∠BAC的外部。D 综上所述，我们可以得到：圆周角定理: 在同圆 中，同弧 所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的一半。 或等圆或等弧相等，思考:
相等的圆周角所对的弧相等吗?
答：一定相等。在同圆或等圆中，练习:2.试找出下图中所有相等的圆周角。 ∠2=∠7∠1=∠4∠3=∠6∠5=∠8练一练3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°D4、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°B练一练5、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°B6、如图，△ABC的顶点A、B、C
在⊙O上，∠C＝30 °，AB=2，
则⊙O的半径是 。解：连接OA、OB∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，半径是2。23.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。 4.已知,四边形ABCD的顶点在⊙O上, ∠BCD=120°,则∠BOD 。探索3如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想想看，∠ACB会是怎样的角？思考
90°的圆周角所对的弦是什么? 从而得出结论：
90°的圆周角所对的弦是直径半圆（或直径）所对的圆周角是直角例题1、 如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD有什么关系.为什么?变:若AC交⊙O于点E,
求证:CD=DE=BD 例题2、如图,已知A、B、C、D、E 均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，求
∠A+ ∠B+ ∠C的值。圆内接多边形与多边形的外接圆：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；
这个圆叫做这个多边形的外接圆.例如：如图，四边形ABCD是⊙O的 ；
⊙O是四边形ABCD的 .探究：圆内接四边形ABCD的对角∠B与∠D有什么关系？6、证明：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，求证：∠B+∠D=1800结论：圆的内接四边形对角互补。如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
和∠BAD的大小。变形题：已知ABC三点在圆O上，依次连接ABCO，若∠AOC=140度，求∠B的度数。110度已知圆心角可构造同弧所对的圆周角.DＯＣＢＡＤ例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.七、例题2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DOOO·方法一方法二方法三方法四AB使用帮助求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证： △ABC 为直角三角形.证明：CO= AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB= ×180°= 90°.∴ △ABC 为直角三角形.练 习综合练习一：
一、判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（ ）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）1、100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32o，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60o的圆周角所对的弧的度数是30o
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120o的弧所对的圆周角是60oB
100o50o36o或144o64o100oD综合练习二6、如图,在⊙O中,∠BOC =50°,则∠A的度数为 。.7、已知：△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠AOB的度数为 。
8、已知⊙O中弦AB的等于半径，求 弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为60度圆周角为 30 度或 150 度。25014009、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.40°10、如图，BD为⊙O的直径,∠A=30°，BC=4,则BD=_______5008探究3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。∴△ABC是锐角三角形解：（1）AB=AC。证明：连接AD又∵DC=BD，∴AB=AC。（2）△ABC是锐角三角形。由（1）知，∠B=∠C＜90 °连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °∵AB是直径，∴∠ADB=90°，实践应用：
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？小结：
1、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径.
3、圆的内接四边形对角互补。
（在圆中，常作直径，构造直角三角形）
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