八年级上册第十二章 全等三角形之全等三角形垂直模型（教案）
文档属性
| 名称 | 八年级上册第十二章 全等三角形之全等三角形垂直模型（教案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 10:31:06 | ||
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文档简介
常见的三垂直模型：
三垂直模型
（1）如图，已知矩形中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，，且，，矩形的周长为32cm，求AE的长．
【答案】6cm．
（2）如图，在中，,，CF交AB于点E，，，若，，求CF的长.
【答案】易证：，∴，．
（3）已知：在中，，，直线经过点，过A点作于，过B作于．当绕点旋转且与线段AB有交点时，请你探究线段、、之间的数量关系．
【答案】分情况讨论：如图2的情况，；
如图3的情况，．
（1）如图1，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积；
（2）如图2，在中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求的面积．
图1 图2
【答案】
（1）过E作EF⊥AC于点F，过D作DH垂直AC于点H，则有，，所以所求图形面积．
（2）过B′作于D，则有，∴，．
已知在等腰中，为直角，于点G，．求证：为的中点．
【答案】如图，过作，交延长线于．
，∴；
，∴；
∴，M是BC的中点．
如图，在等腰Rt△ABC中，，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，
过点B作交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【答案】（1）是等腰直角三角形，∴；
（2）∵,∴,
又∵，∴，，；
（3）等腰三角形（）．
三垂直的一般情况：一线三等角
已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且．
（1）如图1，若∠BCA=60°，时，线段BE和CF大小关系如何，猜想线段BE、AF和EF之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，若时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明．
【答案】（1），；（2）成立．
如图，等边中，，点O在BC上，且，动点P从点E沿射线EC以1cm/s的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒，问：
①当t是多少时，？
②当t是多少时，？
③当t是多少时，点F恰好落在射线EB上？
【答案】①如下图①，当时，是等边三角形，所以，秒；
②如下图②，当时，，，，所以秒；
③如下图③，点F在EB上时，则有，，所以 秒．
在中，，的平分线交BC于D．过C点作交
AD于E，交AB于G，过D点作于F，求证：．
【答案】∵，，AD为公共边，∴，
∴，∴AD是CF的中垂线，∴．
如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交 于，于，求证：．
【答案】如图，过作．
∵，，∴．
∵，，∴．
而，∴，∴．
∵，∴．
∵，，
∴，故．
∴，，∴．
（也可以过E作BC的垂线，按照模型来证明．）
如图1，已知ABC是等边三角形，点D是边BC的中点，∠ADE=60°，且DE与∠ACB的外角平分线CE相交于点E．
（1）证明：ADE是等边三角形；
（2）若D是线段BC上(B、C点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），那么（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）若D是BC的延长线上（C点除外）的任意一点，其他条件不变（如图3），那么（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
图1 图2 图3
【答案】（1）过点作交于点，则有，即证；
（2）成立，证明同（1）；
（3）成立，过点作交的延长线于点，则有，即
证．
如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【答案】;
如图，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.求证：AC=EF．
【答案】求证即可。
如图，中，，，D是AB上任意一点， 交CD延长线于E，于F．求证：．
【答案】三垂直模型，易证：，则，，∴．
（1）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．
(2)如图，在等边ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则ADE是____________三角形．
【答案】(1)；(2)等边
如图，已知ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ABC的角平分线BE交CD于G，交AC于E，M是CG上一点且满足CM=DG. 求证：EM//AB.
【答案】提示：过点作的垂线
八年级数学兴趣小组展示了他们小组探究的过程和发现的结果，内容如下：
(1)如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，当M、N改变位置且保持BM=AN时，∠NOC保持不变，请猜测∠NOC的度数：∠NOC=______度．
(2)如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=DM，且∠DON=_______度．
(3)如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=EM，且∠EON=________度．
(4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：___________________________________________________.
【答案】(1); (2) ；(3) ；(4)以上所求的角正好等于正边形的内角
三垂直模型
（1）如图，已知矩形中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，，且，，矩形的周长为32cm，求AE的长．
【答案】6cm．
（2）如图，在中，,，CF交AB于点E，，，若，，求CF的长.
【答案】易证：，∴，．
（3）已知：在中，，，直线经过点，过A点作于，过B作于．当绕点旋转且与线段AB有交点时，请你探究线段、、之间的数量关系．
【答案】分情况讨论：如图2的情况，；
如图3的情况，．
（1）如图1，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积；
（2）如图2，在中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求的面积．
图1 图2
【答案】
（1）过E作EF⊥AC于点F，过D作DH垂直AC于点H，则有，，所以所求图形面积．
（2）过B′作于D，则有，∴，．
已知在等腰中，为直角，于点G，．求证：为的中点．
【答案】如图，过作，交延长线于．
，∴；
，∴；
∴，M是BC的中点．
如图，在等腰Rt△ABC中，，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，
过点B作交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【答案】（1）是等腰直角三角形，∴；
（2）∵,∴,
又∵，∴，，；
（3）等腰三角形（）．
三垂直的一般情况：一线三等角
已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且．
（1）如图1，若∠BCA=60°，时，线段BE和CF大小关系如何，猜想线段BE、AF和EF之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，若时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明．
【答案】（1），；（2）成立．
如图，等边中，，点O在BC上，且，动点P从点E沿射线EC以1cm/s的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒，问：
①当t是多少时，？
②当t是多少时，？
③当t是多少时，点F恰好落在射线EB上？
【答案】①如下图①，当时，是等边三角形，所以，秒；
②如下图②，当时，，，，所以秒；
③如下图③，点F在EB上时，则有，，所以 秒．
在中，，的平分线交BC于D．过C点作交
AD于E，交AB于G，过D点作于F，求证：．
【答案】∵，，AD为公共边，∴，
∴，∴AD是CF的中垂线，∴．
如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交 于，于，求证：．
【答案】如图，过作．
∵，，∴．
∵，，∴．
而，∴，∴．
∵，∴．
∵，，
∴，故．
∴，，∴．
（也可以过E作BC的垂线，按照模型来证明．）
如图1，已知ABC是等边三角形，点D是边BC的中点，∠ADE=60°，且DE与∠ACB的外角平分线CE相交于点E．
（1）证明：ADE是等边三角形；
（2）若D是线段BC上(B、C点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），那么（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）若D是BC的延长线上（C点除外）的任意一点，其他条件不变（如图3），那么（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
图1 图2 图3
【答案】（1）过点作交于点，则有，即证；
（2）成立，证明同（1）；
（3）成立，过点作交的延长线于点，则有，即
证．
如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【答案】;
如图，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.求证：AC=EF．
【答案】求证即可。
如图，中，，，D是AB上任意一点， 交CD延长线于E，于F．求证：．
【答案】三垂直模型，易证：，则，，∴．
（1）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．
(2)如图，在等边ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则ADE是____________三角形．
【答案】(1)；(2)等边
如图，已知ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ABC的角平分线BE交CD于G，交AC于E，M是CG上一点且满足CM=DG. 求证：EM//AB.
【答案】提示：过点作的垂线
八年级数学兴趣小组展示了他们小组探究的过程和发现的结果，内容如下：
(1)如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，当M、N改变位置且保持BM=AN时，∠NOC保持不变，请猜测∠NOC的度数：∠NOC=______度．
(2)如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=DM，且∠DON=_______度．
(3)如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=EM，且∠EON=________度．
(4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：___________________________________________________.
【答案】(1); (2) ；(3) ；(4)以上所求的角正好等于正边形的内角