八年级上册第十二章 全等三角形之全等三角形旋转模型（教案）

如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）连接BM，证明：MB平分∠AMD．
（3）取AE、CD的中点分别为点P、Q，连接BP、BQ、PQ，如图2，判断△BPQ的形状，并加以证明．
图1 图2
【答案】
（1）△ABE≌△CBD，∴AE=CD．
（2）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE=CD，S△ABE=S△CDB，
∴BK=BJ，∴MB平分∠AMD．
△ABP≌△CBQ，所以BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=90°，△PBQ是等腰直角三角
形．
已知，如图，点线段上的一点，和是等边三角形，直线、交于点，直线、交于点，连接EF．
求证：（1）是等边三角形；
（2）将绕点按逆时针方向旋转，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，若不成立，另请证明的形状．
【答案】（1）∴，
∵，∴，∴
∴，∴是等边三角形
（2）如下图：不是等边三角形，是直角三角形．
如图，在△外作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，
求证：(1)；(2)．
【答案】（1）△≌△，∴，“8字”模型可以推出：．
（2）作，，
先证，则；再证，则；
最后可证，所以．
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
【答案】（1）SAS证全等；（2）135°；（3）延长BF到G，使得FG=FB；
则有△AFB≌△AFG，△ACG≌△ACD，∴CD=CG=BC+2BF=DE+2BF．
如图，点、分别是边长为1的正方形的边、上的点， 的周长是2，于点，
①求的度数；②求证：．
【答案】（1）把绕点旋转到的位置，．
∵，，∴，,
∴．
全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得，则有，∴．
（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且，求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．则有，∴，EF=BE+FD．
（2）成立；
（3）不成立，应该是
在上截取，使，连接．
则有，∴．
∴，∴．
∵，∴，∴，∵，∴．
五边形中，，，，求证：平分．
【答案】延长至，使得，连接，
∵，，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴，平分.
如图1，是等腰直角斜边的中点，，、分别交直线、于点、，连接EF．
（1）当绕点D转动时，求证；
（2）如图1，试问、、有怎样的数量关系，请证明；
（3）当旋转到如图2所示的位置时，（2）中的结论是否仍然成立，请说明．
【答案】如图，连结．
（1）则有，∴；
（2）；（3）
已知：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形．
【答案】连接、，则有：，;，;
∵，∴,可证得：，∴;
最后证得，∴，是等边三角形．
如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
【答案】如图所示，延长到使．
在与中，因为，，，
所以，故．
因为，，所以．
又因为，所以．
在与中，，，，
所以，则，所以的周长为．
已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、 分别是、 的高．求证：．
【答案】由，利用进而再证，可得到．
以的两边为边向外作正方形，求证：，且．
【答案】易证，故，又，，故．
如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．
【答案】连结由上可知，，，，
而，．
∴，
∴，
∴．
一位同学拿了两块的三角尺、做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为 ；
（2）将图1中的绕顶点M逆时针旋转，得到图2，此时重叠部分的面积为 ；
（3）如果将绕旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
【答案】（1）；
（2）；
（3）猜想：重叠部分的面积为
理由如下：过点分别做的垂线，垂足为。
为说明方便，不妨设与的交点为，与的交点为。
由于是斜边的中点，，
所以，
又因为，
所以
因此阴影部分的面积等于正方形的面积。
而正方形的面积是
所以阴影部分的面积是。