八年级上册第十二章 全等三角形之全等三角形构造模型（教案）
文档属性
| 名称 | 八年级上册第十二章 全等三角形之全等三角形构造模型（教案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 411.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 10:37:34 | ||
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文档简介
常见的“反8字”垂直模型：
“反8字”垂直模型是一个导角模型，利用互余关系导角要熟练掌握．
如图，在等腰RtABC中，∠ACB=90°，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BC的延长线于F，且BD=2AE．
（1）若，，求的长是多少．
（2）求证：BD平分∠ABC．
【答案】（1）“8字”垂直模型得到：,,∴，,那么；
由（1）得到，所以E是AF的中点，，∴BD平分∠ABC．
如图，ABC的两条高AD、BE相交于点G，CG的延长线交AB于点F，BG=AC．求证：BF=FC．
【答案】“8字”垂直模型得到：,,∴DG=DC，∠FCB=45°，
∴BD=AD，∠ABD=45°，∴BF=FC．
如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=，DF⊥AB于F，求证：CD=DF．
【答案】如图，延长AE、BC交于G，易证△ACG≌△BCD，由AE=可得AE=EG，
所以BD平分∠ABC，CD=DF．
我们知道“SSA”是不能判定三角形全等的，但是在很多题目中，存在着满足“SSA”关系的两个三角形，虽然他们不全等，但是其边角也有特殊的关系．如图是最简单的“SSA”图形，在△ABD与△ACD中，满足如下关系：
AB=AC，AD=AD，∠B=∠C，∠ADB+∠ADC=180°．
简单地总结为，两个不全等的“SSA”三角形，等角所对的边相等，互补的角所对的边相等．
这四个边、角关系，已知任意三个，都可以证出第四个．
证明方法：添加辅助线，构造全等．
如图：可将小的三角形补成大的，或者在大的三角形中截取小的，或者作垂直，来构造全等．但是在具体的问题中，两个“SSA”三角形位置不会像图中这样摆放，但做法是一致的．
如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（不与A、C重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P 作PE⊥AB于点E，连接PQ交于点D．在运动过程中，ED的长是否变化？
【答案】过点Q作QF⊥AB，由已知得：AB=PQ，所以，PE=QF，所以，∴DE=DF，总上可得：，是定值．
如图，∠A=60°，∠DBC=∠ECB=30°，BD与CE交于点O，求证：BE=CD
【答案】△BOE和△COD中，OB=OC，∠BOE=∠COD，由四边形内角和可推出∠BEO+∠CDO=180°，
如果延长CE到F，使OF=OD，易证△OCD≌△OBF，△BEF是等腰三角形，BF=BE，所以BE=CD．
（也可以在OD上截取OM=OE；或者分别过B、C作CE、BD的垂线，也可以证明．）
构造等边三角形
（1）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角△ADF，且∠DAF=90°．如图1，当点D在线段BC上时，CF=BD且CF⊥BD．
请问：当点D在线段BC的延长线上且在AD左侧作等腰直角△ADF时，CF与BD有怎样的数量和位置关系？请在图2中作图并证明．
（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°．点D在线段BC上运动，试探究CF与BC的位置关系．
图1 图2
图3
【答案】（1）①CF=BD，CF⊥BD；②成立
（2）CF⊥BC，如图做AM⊥AC即可．
在等边△ABC中：
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，求证：PA=PB+PC．
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°，求证：PA+PD+PC>BD．
图1 图2
【答案】（1）如图延长BP到D，使PD=CP，易证△PCD是等边三角形，则△ACP≌△BCD，则PA=PB+PC．
（2）同（1）一样，构造等边三角形手拉手模型，延长DP到M使AP=PM，连接AM、MB，则△AMP是等边三角形，易证△AMB≌△APC．MB=PC，∵MB+MD>BD,∴PA+PD+PC>BD．
在正方形ABCD内部，∠EAF=45°，∠ECF=45°，求证：BE∥DF．
【答案】如图将△BCE绕点C顺时针旋转90°到△DCH，将△AEB绕点A逆时针旋转90°到△AGD，
连接EF、FG、FH，通过全等可得：FH=EF，GF=EF，所以FH=FG，同样的DH=BE，DG=BE，所以DH=DG，通过平角可得：DH和DG共线，所以DF⊥DH，而BE⊥DH（旋转角为90°），所以BE∥DF．
（1）如图所示的△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3．则△ABC的面积是 ．
如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．则
AF和CD的数量关系是 ．
【答案】（1）由全等可得AE=BE=4，CE=EM=3，所以面积=14．
（2）AF=2CD．
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，并且AE=，求证：BD平分∠ABC．
【答案】延长AE、BC相交于点F，△ACF≌△BCD，结合已知可得：E是AF中点，BE是AF的中垂线，
∴BD平分∠ABC．
如图，在等腰△ABC中，延长AC到E，使CE=BD，DE交BC于F．求证：DF=FE．
【答案】如图过D做DG∥AE，易证BD=DG=CE，所以△CEF≌△GDF，DF=FE．
（或者过E作EG∥AB交BC延长线于点G，
或者过点D作DM⊥BC，过点E作EN⊥BC，均可证明）
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA=45°．
求证：AE⊥BE．
【答案】如图过C点作CF⊥CE交EA的延长线于F，则有是等腰直角三角形，，所以，，AE⊥BE．
如图，△ABC是等边三角形，，求证：．
【答案】延长AD到E，使得，易得是正三角形，
于是可得，所以．
“反8字”垂直模型是一个导角模型，利用互余关系导角要熟练掌握．
如图，在等腰RtABC中，∠ACB=90°，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BC的延长线于F，且BD=2AE．
（1）若，，求的长是多少．
（2）求证：BD平分∠ABC．
【答案】（1）“8字”垂直模型得到：,,∴，,那么；
由（1）得到，所以E是AF的中点，，∴BD平分∠ABC．
如图，ABC的两条高AD、BE相交于点G，CG的延长线交AB于点F，BG=AC．求证：BF=FC．
【答案】“8字”垂直模型得到：,,∴DG=DC，∠FCB=45°，
∴BD=AD，∠ABD=45°，∴BF=FC．
如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=，DF⊥AB于F，求证：CD=DF．
【答案】如图，延长AE、BC交于G，易证△ACG≌△BCD，由AE=可得AE=EG，
所以BD平分∠ABC，CD=DF．
我们知道“SSA”是不能判定三角形全等的，但是在很多题目中，存在着满足“SSA”关系的两个三角形，虽然他们不全等，但是其边角也有特殊的关系．如图是最简单的“SSA”图形，在△ABD与△ACD中，满足如下关系：
AB=AC，AD=AD，∠B=∠C，∠ADB+∠ADC=180°．
简单地总结为，两个不全等的“SSA”三角形，等角所对的边相等，互补的角所对的边相等．
这四个边、角关系，已知任意三个，都可以证出第四个．
证明方法：添加辅助线，构造全等．
如图：可将小的三角形补成大的，或者在大的三角形中截取小的，或者作垂直，来构造全等．但是在具体的问题中，两个“SSA”三角形位置不会像图中这样摆放，但做法是一致的．
如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（不与A、C重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P 作PE⊥AB于点E，连接PQ交于点D．在运动过程中，ED的长是否变化？
【答案】过点Q作QF⊥AB，由已知得：AB=PQ，所以，PE=QF，所以，∴DE=DF，总上可得：，是定值．
如图，∠A=60°，∠DBC=∠ECB=30°，BD与CE交于点O，求证：BE=CD
【答案】△BOE和△COD中，OB=OC，∠BOE=∠COD，由四边形内角和可推出∠BEO+∠CDO=180°，
如果延长CE到F，使OF=OD，易证△OCD≌△OBF，△BEF是等腰三角形，BF=BE，所以BE=CD．
（也可以在OD上截取OM=OE；或者分别过B、C作CE、BD的垂线，也可以证明．）
构造等边三角形
（1）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角△ADF，且∠DAF=90°．如图1，当点D在线段BC上时，CF=BD且CF⊥BD．
请问：当点D在线段BC的延长线上且在AD左侧作等腰直角△ADF时，CF与BD有怎样的数量和位置关系？请在图2中作图并证明．
（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°．点D在线段BC上运动，试探究CF与BC的位置关系．
图1 图2
图3
【答案】（1）①CF=BD，CF⊥BD；②成立
（2）CF⊥BC，如图做AM⊥AC即可．
在等边△ABC中：
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，求证：PA=PB+PC．
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°，求证：PA+PD+PC>BD．
图1 图2
【答案】（1）如图延长BP到D，使PD=CP，易证△PCD是等边三角形，则△ACP≌△BCD，则PA=PB+PC．
（2）同（1）一样，构造等边三角形手拉手模型，延长DP到M使AP=PM，连接AM、MB，则△AMP是等边三角形，易证△AMB≌△APC．MB=PC，∵MB+MD>BD,∴PA+PD+PC>BD．
在正方形ABCD内部，∠EAF=45°，∠ECF=45°，求证：BE∥DF．
【答案】如图将△BCE绕点C顺时针旋转90°到△DCH，将△AEB绕点A逆时针旋转90°到△AGD，
连接EF、FG、FH，通过全等可得：FH=EF，GF=EF，所以FH=FG，同样的DH=BE，DG=BE，所以DH=DG，通过平角可得：DH和DG共线，所以DF⊥DH，而BE⊥DH（旋转角为90°），所以BE∥DF．
（1）如图所示的△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3．则△ABC的面积是 ．
如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．则
AF和CD的数量关系是 ．
【答案】（1）由全等可得AE=BE=4，CE=EM=3，所以面积=14．
（2）AF=2CD．
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，并且AE=，求证：BD平分∠ABC．
【答案】延长AE、BC相交于点F，△ACF≌△BCD，结合已知可得：E是AF中点，BE是AF的中垂线，
∴BD平分∠ABC．
如图，在等腰△ABC中，延长AC到E，使CE=BD，DE交BC于F．求证：DF=FE．
【答案】如图过D做DG∥AE，易证BD=DG=CE，所以△CEF≌△GDF，DF=FE．
（或者过E作EG∥AB交BC延长线于点G，
或者过点D作DM⊥BC，过点E作EN⊥BC，均可证明）
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA=45°．
求证：AE⊥BE．
【答案】如图过C点作CF⊥CE交EA的延长线于F，则有是等腰直角三角形，，所以，，AE⊥BE．
如图，△ABC是等边三角形，，求证：．
【答案】延长AD到E，使得，易得是正三角形，
于是可得，所以．