八年级上册>第十二章 全等三角形之倍长中线与截长补短（教案）

中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法”添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题．
倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等模型．但是给出的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以运用“倍长中线法”来解决问题．
倍长中线 如图，在中，CO是AB边上的中线， 延长CO至点D，使得， 在中， 所以．
倍长类中线 如图，O为线段AB的中点， 延长CO至点D使得， 在中, 所以．
倍长中线的基本应用
如图，在中，是边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，
AF=EF，求证：AC=BE．
【答案】延长AD到G，使DG=AD，连接BG
∵BD=CD，，AD=GD
∴
∴AC=GB．
又∵AF=EF，∴
∴
∴BE=BG，∴BE=AC．
倍长类中线
（1）如图，在中，交于点，点是的中点，交 的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．
【答案】延长到点，使，连接．
在和中
∴
∴，
∴，而
∴
又∵
∴，
∴
∴为的角平分线．
提示：也可延长GE至H，使，连接CH
（2）如图所示，，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：．
【答案】延长AM到F，使得MF=AM，连接BF交AD于点N，交CD于点O．
容易证明
则AE=FB，，
从而，
而，，故
从而，故
而
故，亦即．
倍长中线的进阶
（1）已知，中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB．
求证：①CD=2CE；②．
【答案】①延长CE到F，使EF=CE，连接BF．
∵CE是AB的中线，∴AE=EB，∴
∴BF=AC=BD，，
∴，∴
∴CD=CF=2CE．∠FCB=∠BCD．
②解法一：又∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=∠FCB+∠ACE，
∠ABC=∠BCD+∠D，∴∠D=∠ACE．
解法二：由①中的两个全等，可以得到：，∴．
（2）已知为的中线，，的平分线分别交于、交 于．
求证：．
【答案】延长到，使，连接、．
易证≌，∴，
又∵，的平分线分别交于、交于，
∴，
利用证明≌，∴，
在中，，
∴．
倍长类中线进阶
如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：．
【答案】延长到，使，连
接EF，
易证△ABD≌△FED（SAS） ∴EF=AB
延长到，使，连接CG
易证△AED≌△GEC（SAS） ∴AD=CG
在△AEF中，AE+EF>AF，
在△ACG中，AC+CG>AG，
即有：AE+EF+AC+CG>AF+AG，
AE+AB+AC+AD>2AD+2AE
化简得：
截长补短
（1）如图，在中，，于，求证：．
【答案】解法一：在CD上截取DE=BD，连接AE，
∵，∴，
∴，∴AE=AB，，
∴，∴CE=AE=AB，
∴CD=CE+DE=AB+BD．
解法二：延长CB到F，使BF=AB，连接AF，
∴，
∵，∴，
∴，∴DF=DC，
∵DF=BF+BD=AB+BD，
∴CD=AB=BD．
（2）如图，平分，，且，求证：．
【答案】在AE上截取一点F，使得AD=AF，证△ACD≌△ACF即可．
（3）已知：如图，四边形ABCD是正方形，．求证：BE+DF=AE．
【答案】延长CB至M，使得BM=DF，连接AM．
∵AB=AD，，，BM=DF，
∴，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF．
截长补短进阶
（1）如图所示，在中，，，BD是的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE.
【答案】在上取BC一点F，使得BF=BA
易证得 ∴DF=AD，
又∵DA=DE ∴DF=DE
∵，AB=AC
∴
∵BD平分，∴
∴
∵
∴
∴
∴FC=EC
∴BC=BF+FC=AB+CE
（2）已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，.
求证：BE+DF=EF．
【答案】延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，，
∴，∴AE=AG，，∴，
∵，∴，
∴，
∴EF=FD+DG=DF+BE．
截长补短的应用
（1）已知等腰，，的平分线交AC于D，求证：BD+AD=BC．
【答案】解法一：如图，在BC上截取BE=BD，连接DE，
过D作，交AB于F，于是，．
又∵，
∴，故DF=BF．显然FBCD是等腰梯形．
∴BF=DC，DF=DC．
∵，
∴，
∴，∴，AD=EC．
又∵BE=BD，∴BC=BD+EC=BD=AD．
解法二：在BC上取点E、F，使得BE=BD、BF=BA，
∵等腰中，AB=AC，，
∴，
∴，又∵BD=BE，
∴，
∴，∴ED=EC，
∵BA=BF，，BD=BD，
∴，
∴AD=FD，，
∴，∴DE=DF，
∴AD=DF=DE=CE，∴AD+BD=CE+BE=BC．
解法三：如图，延长BD到E，使DE=AD，在BC上截取BF=BA．
∵，BD为公共边，
∴，AD=FD，．
∵，
∴．
∴，故，．
∵DF=DE，∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，∴，故．
∴，故BC=BE．
∵BE=BD+DE，∴BC=BD+AD．
解法四：延长BD到E，使BE=BC．延长BA到F，使BF=BC．
连接CE、EF、DF．
∵，BD公共，
∴．
∴，．
又∵，，
∴．
∵BE=BF，．
∴，
∴．
而．
∴．
又FD公共，∴．∴ED=AD．
∴BC=BE=BD+AD
（2）如图，已知，，且AB+AC=BE，求的度数．
【答案】如图，延长BA到点F，使AF=AC，
由题设知BF=BE，
∴ ∴
∴，
故．
∴，．
（1）在中，，求边上的中线的长的取值范围．
【答案】
（2）如图，中，，于D，且AB+BD=DC，则_________．
【答案】
如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？
【答案】延长到，使，连接
∵，，
∴．
∴．
又∵，∴
∴，而
∴，故．
如图，在ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=DC，EF=AC．
求证：EF∥AB．
【答案】
延长AD到H，使DF=DH，连接CH．
易证△DEF≌△DCH（SAS），
∴∠DFE=∠DHC,EF=CH=AC
∴∠CAD=∠DHC
又∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD= DFE
∴EF∥AB
如图，在中，AB+BD=AC，的平分线AD交BC与D．求证：．
【答案】在AC上取一点E，使得AB=AE，连接DE．
在和中，
AB=AE，，
AD=AD．
∴，
∴BD=ED，
又∵AB+BD=AC，∴EC=BD=ED
．
其他方法参考例题．
如图，中，AB=AC，，BD平分交AC于D点．
求证：BC=AC+CD．
【答案】方法一：在BC上截取E点使BE=BA，连接DE．
∵BD平分，∴．
在与中
∵AB=EB，，BD=BD
∴，∴
∵， ∴∴．
又∵
∴
∴
∴CD=CE
∵BC=BE+EC，∴BC=AC+CD
方法二：如图，延长CA到F，使CF=CB，连接BF．
∵AB=AC，且，
∴．
∵CB=CF，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．又∵
∴BF=AB=AC=FD．
∴AF=CD．∴BC=AC+CD．