八年级上册第十二章 全等三角形之几何综合（教案）
文档属性
| 名称 | 八年级上册第十二章 全等三角形之几何综合（教案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 10:40:21 | ||
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文档简介
1．常见的能够出现等腰三角形的图形：
平行线截等腰三角形出等腰： 如右图，直线截，且，是等腰三角形．
角平分线加平行线出等腰： 如右图，平分，平行，是等腰三角形．
垂直平分线出等腰： 如右图，直线是的垂直平分线，在除中点外任意取一点，都可以和点、组成等腰三角形．在图中、、都是等腰三角形．
直角三角形沿直角边翻折出等腰： 如右图，中，，将三角形沿边折叠，使落在点位置，显然是等腰是三角形，但是要注意，此时也是等腰三角形．
2．等腰直角三角形
在等腰中，为斜边，为直角边，则有三边之比．
等腰三角形性质进阶
（1）如图，在ABC中，，平分，， ，E、F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中正确的有（ ）
1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
（2）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为______________．
【答案】8或或．
（3）等腰三角形某边上的高等于其中某边的一半，求该等腰三角形的三个内角．
【答案】；；；．
平行线+角分线出等腰
如图1，在不等边中，、分别平分、，过D点作，交AB、AC于E、F．问：
（1）图中的等腰三角形有 ；请说明线段与、有什么关系？
（2）如图2，平分，平分外角，交于点，交于．线段与、有什么关系？
（3）如图3，、为外角、的平分线，交延长线
于点，交延长线于，线段与、有什么关系？
【答案】（1）等腰三角形：、、、、；
（2）等腰三角形：、；
由于ED=BE，DF=CF，EF=ED+FD=BE+CF，故EF=BE+CF
（3）图3所示中仍有两个等腰三角形、
从而DE=BE，CF=DF，又EF=ED-DF=BE-CF，故EF=BE-CF
（4）如图4所示与2类似，EF=BE+CF．
（1）如图，在中，，D在BC上，，在AC上取一点E，使得，则的度数是 ．
【答案】25°．
（2）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为，求证：是的中点．
【答案】连接，则有，，
∴等腰，为中点
（3）如图，，点为角内一点，且，点分别在边 上运动，当运动到何处时，周长最小．作图并求出周长最小值．
【答案】如图，分别作P关于AB、AC的对称点．连接，交AB于M，交AC于N，连接PM、PN、MN，此时PMN周长最小．
如图，连接，是等边三角形，, 周长最小值是3．
等腰和等腰直角三角形综合
（1）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若，则有下列说法：
①平分；②长为；③是等腰三角形；④ 的周长等于的长．其中正确的是 ．
【答案】②③④．
（2）是等腰直角三角形，，分别是和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，连接．求证：．
【答案】过E作AD的垂线交AD于F．
易证，，∴，
可证得：，∴也是的中点，则有，，∴，．
角平分线与面积问题
（1）如图1，在任意中，已知平分，求证：．
（2）如图2，在钝角中，是外角∠EAC的角平分线，求证：．
【答案】（1）如左图，过点D分别作，，则有：，
此时易得： ，又有（等高），∴．
如右图做辅助线，根据题意，此时易得，，∴．
腰高和差定值问题
（1）知识延伸：如图1，为等腰内任意一点，于点， 于点，于点，点，求证：；
（2）活学活用：如图2，若点为等边外一点，请说明、、和之间的数量关系．
（3）类比推理：如图3，若点为等边的边延长线上一点，请说明、、和之间的数量关系．
【答案】（1）连接，根据三角形面积即可证明．
（2），证明同上；
（3），证明同上．
等边与勾股定理综合
如图，若是边长为的等边内的任一点，到三边的距离为、、，.
【答案】以下证法仅供参考，由勾股定理得：
，其中．
，整理可得：．
切割法求三角形面积
已知的面积为7，，求的面积．
【答案】连接．由题意可得：，
同样的有：，
，
∴，．
1．尺规作图的相关概念
定义：用无刻度的直尺，圆规作图．
直尺：直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规：圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成之前构造过的长度．
2．五种基本尺规作图：
（1）作一条线段等于已知线段：
例：已知线段，求作线段，使，保留作图痕迹．
作法：先作射线AC，然后再射线AC上截取AB=l即可．
（2）作已知线段的垂直平分线：
例：已知线段AB，求作线段的垂直平分线．
作法：分别以A、B为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点M、N；
作直线MN，即为所求．
（3）作一个角等于已知角：
例：已知，求作使得，并保留作图痕迹．
作法：先作射线OP；
以A为圆心，任意长为半径画弧，与∠A的两边分别交于点C、D；
以O为圆心、AC长为半径画弧，交OP于点；
以为圆心、CD长为半径画弧，交刚刚的弧于点；
连接，形成即为所求．
（4）已知，求作的角平分线，并保留作图痕迹．
作法：以点A为圆心、适当长为半径画弧交角两边于点C、D；
分别以C、D为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点E；
作射线AE，即为所求．
（5）过一点作已知直线的垂线：
例：①A为直线l外一点，过A作直线l的垂线．
作法：以A为圆心、大于点A到l的距离为半径画弧，交直线于C、D点；
分别以C、D为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点E；
作直线AE，即为所求．
②A为直线l上一点，过A作直线l的垂线．
作法：以A为圆心、任意长为半径画弧，交直线于C、D点；
分别以C、D为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点E；
作直线AE，即为所求．
3．复杂尺规作图：运用我们曾经学过的定理性质等转化为基本尺规作图．
（1）已知线段AB，以线段AB长为边作一等边三角形，并保留作图痕迹．
如图，作法略．
（2）已知直线，点A为直线外一点，求作经过A的直线的平行线，并保留作图痕迹．
【答案】如图，在直线上取一点B，作直线AB，以AC为一边做∠2=∠A，则，反向延长AD即得求作直线．
（1）如图，在中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，若的周长为8cm，AB-BC=2cm，则BC=________cm．
【答案】3
（2）已知，中，，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，的度数是________．
【答案】100
（1）如图，等边的三条角平分线相交于点O，过点O作，分别交AB于E，交AC于点F，则图中的等腰三角形有（ ）个
4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
（2）如图，为等边三角形，，于．若的周长为12cm，则＝__________
【答案】2
（1）如图，P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，于点E，于点F，于点D．求证：．
（2）等边三角形的边长为，是等边三角形内一点，则到三边的距离之和是__________.
【答案】
（1）已知：如图，是的角平分线，且，则与面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
（2）如图，是的角平分线，其中，求证：．
【答案】如图作，则有，由三角形的面积即可证明．
（1）已知直线，A为直线上一点，求作经过A的直线的垂线，保留作图痕迹．
【答案】作法略，作图如有：
（2）如图，已知点A是锐角内的一点，试分别在OM、ON上确定点B、点C，使的周长最小，在图中标明你所确定的点（尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】分别作点A关于OM、ON的对称点A’、A’’；
连结A’A’’与OM、ON交于B、C两点，即为所求．
如图1，在中，AB=AC，、的平分线相交于点D，过点D作交AB、AC于E、F．
⑴ 图1中有____个等腰三角形．线段EF与BE、CF间满足的数量关系是______________；
⑵ 若，的平分线与三角形外角的平分线CD交于D，过D点作交AB于E，交AC于F．如图2，这时EF与BE、CF间有怎样的数量关系？
答：______________．请给出你的证明．
【答案】（1）5，EF=BE+CF；
（2）BE=EF+CF．
证明：如图，∵，BD平分，∴，∴BE=ED；
又∵CD平分、，∴，∴FD=FC；
∴BE=ED=EF+FC．
平行线截等腰三角形出等腰： 如右图，直线截，且，是等腰三角形．
角平分线加平行线出等腰： 如右图，平分，平行，是等腰三角形．
垂直平分线出等腰： 如右图，直线是的垂直平分线，在除中点外任意取一点，都可以和点、组成等腰三角形．在图中、、都是等腰三角形．
直角三角形沿直角边翻折出等腰： 如右图，中，，将三角形沿边折叠，使落在点位置，显然是等腰是三角形，但是要注意，此时也是等腰三角形．
2．等腰直角三角形
在等腰中，为斜边，为直角边，则有三边之比．
等腰三角形性质进阶
（1）如图，在ABC中，，平分，， ，E、F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中正确的有（ ）
1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
（2）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为______________．
【答案】8或或．
（3）等腰三角形某边上的高等于其中某边的一半，求该等腰三角形的三个内角．
【答案】；；；．
平行线+角分线出等腰
如图1，在不等边中，、分别平分、，过D点作，交AB、AC于E、F．问：
（1）图中的等腰三角形有 ；请说明线段与、有什么关系？
（2）如图2，平分，平分外角，交于点，交于．线段与、有什么关系？
（3）如图3，、为外角、的平分线，交延长线
于点，交延长线于，线段与、有什么关系？
【答案】（1）等腰三角形：、、、、；
（2）等腰三角形：、；
由于ED=BE，DF=CF，EF=ED+FD=BE+CF，故EF=BE+CF
（3）图3所示中仍有两个等腰三角形、
从而DE=BE，CF=DF，又EF=ED-DF=BE-CF，故EF=BE-CF
（4）如图4所示与2类似，EF=BE+CF．
（1）如图，在中，，D在BC上，，在AC上取一点E，使得，则的度数是 ．
【答案】25°．
（2）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为，求证：是的中点．
【答案】连接，则有，，
∴等腰，为中点
（3）如图，，点为角内一点，且，点分别在边 上运动，当运动到何处时，周长最小．作图并求出周长最小值．
【答案】如图，分别作P关于AB、AC的对称点．连接，交AB于M，交AC于N，连接PM、PN、MN，此时PMN周长最小．
如图，连接，是等边三角形，, 周长最小值是3．
等腰和等腰直角三角形综合
（1）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若，则有下列说法：
①平分；②长为；③是等腰三角形；④ 的周长等于的长．其中正确的是 ．
【答案】②③④．
（2）是等腰直角三角形，，分别是和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，连接．求证：．
【答案】过E作AD的垂线交AD于F．
易证，，∴，
可证得：，∴也是的中点，则有，，∴，．
角平分线与面积问题
（1）如图1，在任意中，已知平分，求证：．
（2）如图2，在钝角中，是外角∠EAC的角平分线，求证：．
【答案】（1）如左图，过点D分别作，，则有：，
此时易得： ，又有（等高），∴．
如右图做辅助线，根据题意，此时易得，，∴．
腰高和差定值问题
（1）知识延伸：如图1，为等腰内任意一点，于点， 于点，于点，点，求证：；
（2）活学活用：如图2，若点为等边外一点，请说明、、和之间的数量关系．
（3）类比推理：如图3，若点为等边的边延长线上一点，请说明、、和之间的数量关系．
【答案】（1）连接，根据三角形面积即可证明．
（2），证明同上；
（3），证明同上．
等边与勾股定理综合
如图，若是边长为的等边内的任一点，到三边的距离为、、，.
【答案】以下证法仅供参考，由勾股定理得：
，其中．
，整理可得：．
切割法求三角形面积
已知的面积为7，，求的面积．
【答案】连接．由题意可得：，
同样的有：，
，
∴，．
1．尺规作图的相关概念
定义：用无刻度的直尺，圆规作图．
直尺：直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规：圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成之前构造过的长度．
2．五种基本尺规作图：
（1）作一条线段等于已知线段：
例：已知线段，求作线段，使，保留作图痕迹．
作法：先作射线AC，然后再射线AC上截取AB=l即可．
（2）作已知线段的垂直平分线：
例：已知线段AB，求作线段的垂直平分线．
作法：分别以A、B为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点M、N；
作直线MN，即为所求．
（3）作一个角等于已知角：
例：已知，求作使得，并保留作图痕迹．
作法：先作射线OP；
以A为圆心，任意长为半径画弧，与∠A的两边分别交于点C、D；
以O为圆心、AC长为半径画弧，交OP于点；
以为圆心、CD长为半径画弧，交刚刚的弧于点；
连接，形成即为所求．
（4）已知，求作的角平分线，并保留作图痕迹．
作法：以点A为圆心、适当长为半径画弧交角两边于点C、D；
分别以C、D为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点E；
作射线AE，即为所求．
（5）过一点作已知直线的垂线：
例：①A为直线l外一点，过A作直线l的垂线．
作法：以A为圆心、大于点A到l的距离为半径画弧，交直线于C、D点；
分别以C、D为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点E；
作直线AE，即为所求．
②A为直线l上一点，过A作直线l的垂线．
作法：以A为圆心、任意长为半径画弧，交直线于C、D点；
分别以C、D为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点E；
作直线AE，即为所求．
3．复杂尺规作图：运用我们曾经学过的定理性质等转化为基本尺规作图．
（1）已知线段AB，以线段AB长为边作一等边三角形，并保留作图痕迹．
如图，作法略．
（2）已知直线，点A为直线外一点，求作经过A的直线的平行线，并保留作图痕迹．
【答案】如图，在直线上取一点B，作直线AB，以AC为一边做∠2=∠A，则，反向延长AD即得求作直线．
（1）如图，在中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，若的周长为8cm，AB-BC=2cm，则BC=________cm．
【答案】3
（2）已知，中，，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，的度数是________．
【答案】100
（1）如图，等边的三条角平分线相交于点O，过点O作，分别交AB于E，交AC于点F，则图中的等腰三角形有（ ）个
4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
（2）如图，为等边三角形，，于．若的周长为12cm，则＝__________
【答案】2
（1）如图，P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，于点E，于点F，于点D．求证：．
（2）等边三角形的边长为，是等边三角形内一点，则到三边的距离之和是__________.
【答案】
（1）已知：如图，是的角平分线，且，则与面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
（2）如图，是的角平分线，其中，求证：．
【答案】如图作，则有，由三角形的面积即可证明．
（1）已知直线，A为直线上一点，求作经过A的直线的垂线，保留作图痕迹．
【答案】作法略，作图如有：
（2）如图，已知点A是锐角内的一点，试分别在OM、ON上确定点B、点C，使的周长最小，在图中标明你所确定的点（尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】分别作点A关于OM、ON的对称点A’、A’’；
连结A’A’’与OM、ON交于B、C两点，即为所求．
如图1，在中，AB=AC，、的平分线相交于点D，过点D作交AB、AC于E、F．
⑴ 图1中有____个等腰三角形．线段EF与BE、CF间满足的数量关系是______________；
⑵ 若，的平分线与三角形外角的平分线CD交于D，过D点作交AB于E，交AC于F．如图2，这时EF与BE、CF间有怎样的数量关系？
答：______________．请给出你的证明．
【答案】（1）5，EF=BE+CF；
（2）BE=EF+CF．
证明：如图，∵，BD平分，∴，∴BE=ED；
又∵CD平分、，∴，∴FD=FC；
∴BE=ED=EF+FC．