八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形第02讲特殊的平行四边形（教案）

第2话：特殊的平行四边形
课堂思维碰撞
第一层： 矩形
知识导入
知识点 典型范例
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．也就是长方形． 矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等． 矩形的特殊性质：①AC=BD ②∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定： 四边形ABCD是平行四边形，一个角为90°； 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD 任意三个角等于90°的四边形
斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，则CD=
重要模型： 结论：
夯实基础
例1 矩形的性质
（1）如图，矩形中，则下列结论：
①是等边三角形②③④⑤．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②③④⑤
（2）如图，将矩形绕A点顺时针旋转90°得到矩形AFGH， 连接BG，E为BG中点，连接AE，已知AC=4，BC=3，则AE=________．
（3）如图，矩形中，是两对角线的交点，，垂足为．若，则的长为________．
(4)如图，是矩形对角线交点，平分，，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）（3）3（4）B
能力提升
例2 矩形模型
（1）如图，已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则=______．
（2）如图所示，矩形内一点到、、的长分别是2、3、4，则 的长为______．
（3）已知，如图，在矩形中，是边上的动点，于，于，如果， ，那么PE+PF=______
【答案】（1）；（2）；（3）
例3 矩形的判定
（1）如图所示，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列判断中，不能判断四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°
B．OA=OB=OC=OD
C．ABCD且AB=CD，AC=BD
D．ABCD且AB=CD，OA=OC，OB=OD
【答案】D
（2）如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接交于点．
若，连接.求证：四边形是矩形．
【答案】∵，，∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又∵AE=2AF，BC=2BF，∴AE=BC
∴平行四边形是矩形．
第二层： 菱形
知识导入
序号 知识点 典型范例
1 菱形的性质： （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴． 菱形的特殊性质： AB=BC=CD=AD AC⊥BD
2 菱形的判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形． 菱形的判定： 四边形ABCD是平行四边形，邻边相等； 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD AB=BC=CD=AD的四边形
夯实基础
例4
(1) 如图，已知菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的周长是（　　）
A．24 B．16 C． D．
（2）菱形周长为，一条对角线长为，则其菱形的高为 ．
(3)如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
(4)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC上一点，∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF，②△DEF 是等边三角形，③△BEF是等腰三角形，④∠ADE=∠BEF，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②④
（5）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，点为垂足，连结，则（　　）
A． B． C． D．
(6)已知菱形的两条对角线长分别为6和8，分别是边的中点，是对角线上一点，则的最小值_______.
【答案】（1）C;（2）；(3)B；(4)D;（5）D;（6）
能力提升
例5 菱形的判定
（1）已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，且，，，①求证：平行四边形是菱形；
②求菱形的面积．
【答案】①∵在中，,，
∴
∴是直角三角形，
∴平行四边形是菱形．
②∵平行四边形是菱形，∴，
∴．即菱形的面积为．
（2）如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．
证明：∵∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，
∴DC=DE，∠CAD=∠EAD，∠CDF+∠CAD=90°，
∵CH是AB边上的高，
∴CH⊥AB，
∴CH∥DE，∠AFH+∠EAD=90°，
∴∠CDF=∠AFH，
∵∠CFD=∠AFH，
∴∠CDF=∠CFD，
∴CF=DC，
∴CF=DE，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴四边形CDEF是菱形．
第三层： 正方形
知识点 典型范例
正方形的性质： （1）四条边都相等； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形具有矩形的所有性质，又具有菱形的所有性质． 正方形的性质： AB=BC=CD=AD ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° AC⊥BD且AC=BD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD
正方形的判定： （1）对角线互相垂直且相等的平行四 边形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形； （4）有一个角是直角的菱形是正方形； （5）对角线相等的菱形是正方形； （6）对角线互相垂直平分且相等的四 边形是正方形． 正方形的判定： 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD且AC=BD， 四边形ABCD是矩形，邻边相等 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD 四边形ABCD是菱形，有一个角是90° 四边形ABCD是菱形，AC=BD， AC⊥BD且AC=BD且OA=OC，OB=OD
能力提升
例6　正方形的性质
（1）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过E作EF⊥BC于F，作EG⊥CD于G，若正方形ABCD的周长为m，则四边形EFCG的周长为
(2)已知正方形，以AB为边构造等边，那么
（3）如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP=30°，则EF的长度为2．其中结论正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】（1）（2）15°或75°（3）A
例7　如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点作，，垂足分别为．
⑴求证：；
⑵若，求证：四边形是正方形．
【答案】证明：⑴∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
⑵∵，，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形．
∵，，，
∴．
∴四边形是正方形．
课后创新培养
课后作业
练1　　(1)如图，，矩形的顶点在直线上，则________度．
(2) 矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是________．
【答案】（1）30 （2）10cm
练2　　如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．
【答案】∵四边形为平行四边形
∴，
∵、分别是、的平分线
∴
∴
同理
∴四边形是矩形．
练3　　(1) 菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ．
(2) 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，则△DEF的周长为_______
(3) 如图，在菱形中，，，点是对角线上的一个动点，点是边上的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】（1）60cm2；（2）；（3）B
练4　如图，已知中，，四边形是平行四边形，为的中点．求证：四边形是菱形．
【答案】四边形是平行四边形，在与中
，，
，，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
练5　四边形是正方形，延长至，使，连结交于，那么的度数为________．
【答案】112.5°
练6 下列说法不正确的是（　　）
A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形
【答案】D
10
9