八年级下册第十九章 一次函数第03讲 函数初步（教案）
文档属性
| 名称 | 八年级下册第十九章 一次函数第03讲 函数初步（教案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 360.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 10:45:52 | ||
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文档简介
第3话：函数初步
课堂思维碰撞
第一层：变量与函数
知识导入
基本概念
变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
自变量与函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
解析式
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数常用的方法．这种式子叫做函数的解析式．
注意：
函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
⑴对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当时，，即有两个值与对应．
⑵对于每一个给定的值，可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．
确定函数自变量取值范围的方法：
(1)整式型：一般取全体实数
(2)分式型：使得分母不为0
(3)根式型：①根指数为偶数时被开方数为非负数
②根指数为奇数时被开方数为任意实数
(4)非正整数幂：底数不为0
(5)整式、分式和根式的组合型：取各自取值范围的公共部分
(6)实际问题：符合实际意义
夯实基础
例1 基本概念
（1）在圆的周长公式C=2πr中，下列说法错误的是（ ）
A．C，π，r是变量，2是常量
B．C，r是变量，2π是常量
C．r是自变量，C是r的函数
D．将C=2πr写成，则可看作C是自变量，r是C的函数
（2）某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下（ ）：
定价（元） 100 110 120 130 140 150
销量（个） 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量，销量是变量
B．定价是变量，销量是不变量
C．定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【答案】（1）A ；（2）C
能力提升
例2
（1）下列式子中，是的函数的有_____________
①；②；③；④；⑤；⑥y=；⑦
（2）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
（3）求下列式子中自变量的取值范围．
① ② ③ ④ ⑤
【答案】（1）①②④⑥⑦；（2）D（3）①全体实数；②x≠3；③x≠-1且x≠0；④；
⑤x≥2且x≠3
例3(1) 等腰周长为，底边长为，腰长为．
①写出关于的函数关系式；
②求的取值范围；
③求的取值范围．
【答案】（1）解：①y=10﹣2x；
②∵x＞0，y＞0，2x＞y∴10﹣2x＞0，2x＞10﹣2x，解得；
③∵x=5﹣∴＜5﹣＜5，解得0＜y＜5．
（2）某地市话的收费标准为：
①通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费每分钟0.2元；
②通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.15元计算．
那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为_________（写出自变量的取值范围）
【答案】
第二层： 函数的图象
知识导入
1．函数图象的概念：
对于一个函数，如果把自变量和函数的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．
2．函数图象的画法
⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．
3．函数解析式与函数图象的关系：
由函数图象的定义可知，图象上任意一点中的，都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．
判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．
夯实基础
例4 函数图象
如图下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
能力提升
例5 根据信息找图象
（1）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
（2）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着等腰三角形AOB的边OA→AB→BO的路径去匀速散步，其中OA=OB．设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
（3）边长为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），则与的大致图象为（ ）
A B C D
（4）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地，下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D；（2）D；（3）A;（4）C；
例6 根据图象找信息
（1）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（ ）
A． B． C． D．
（2）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
（3）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（ ）
A．20 L B．25 L C．27L D．30 L
（4）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，甲、乙保持匀速运动．乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时 B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇 D．甲到B地比乙到A地早小时
【答案】（1）A（2）D；（3）B；（4）D；
横扫学霸
例7 如图是小李骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量是_____，因变量是_____；
（2）小李何时到达离家最远的地方？此时离家多远？
（3）请直接写出小李何时与家相距20km？
（4）求出小李这次出行的平均速度．
【答案】（1）离家时间，离家距离；（2）2h，30km；（3）t=1.5或t=4;（4）12km/h
例8 如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地．甲、乙两车到C地距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示．
（1）A、B两地距离为_____千米；
（2）M点的坐标是_________；
（3）在图2中补全甲车到C地的距离y1（千米）与行驶时间x（时）的函数图象；
（4）两车行驶多长时间时到C地的距离相等？
【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解；
（2）根据（1）中AB的距离，可求出乙的速度，再由BC的距离，可以求出B到达C的时间；
（3）算出甲车速度，根据AC的距离算出时间，确定终点坐标再画图；
（4）由（3）图可知，两车两次与C点距离相同，一次两车相遇在C点同侧，一次相背而行，在C两侧，从而解出时间．
【答案】（1）150；（2）（1.2,0）；（3）甲车速度60km/h，行驶完全程需要2.5h，终点坐标（2.5,90）
（4）由图可知， 在C同侧两车相遇时，150÷（60+75）=
在C异侧，设时间为x，列方程75x-90=60x-60，解得x=2
∴两车行驶或2个小时到C地距离相等．
课后创新培养
课后作业
练1
下列可以表示y为自变量x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．y=1，x∈R
【答案】A
练2
(1) 对于圆的周长公式C=2πR，下列说法错误的是（ ）
A．π是变量 B．R、C是变量 C．R是自变量 D．C是因变量
（2）函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1且x≠2
【答案】（1）A（2）B
练3 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
练4 如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到点的距离为S，则关于t的函数图象大致为( )
【答案】C
练5 如图，，分别表示步行与骑车在同一路上行驶的路程与时间的关系．
⑴出发时与相距________千米．
⑵走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是________小时．
⑶出发后________小时与相遇．
⑷若的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，________小时与相遇，相遇点离的出发点________千米．
⑸求出行走的路程与时间的函数关系式．（写出过程）
【答案】⑴10；⑵1；⑶3；⑷，；
⑸A行走的路程S与时间t的函数关系式为
先求出速度为（22.5-10）÷3=
路程=10+速度×时间．
8
7
课堂思维碰撞
第一层：变量与函数
知识导入
基本概念
变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
自变量与函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
解析式
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数常用的方法．这种式子叫做函数的解析式．
注意：
函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
⑴对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当时，，即有两个值与对应．
⑵对于每一个给定的值，可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．
确定函数自变量取值范围的方法：
(1)整式型：一般取全体实数
(2)分式型：使得分母不为0
(3)根式型：①根指数为偶数时被开方数为非负数
②根指数为奇数时被开方数为任意实数
(4)非正整数幂：底数不为0
(5)整式、分式和根式的组合型：取各自取值范围的公共部分
(6)实际问题：符合实际意义
夯实基础
例1 基本概念
（1）在圆的周长公式C=2πr中，下列说法错误的是（ ）
A．C，π，r是变量，2是常量
B．C，r是变量，2π是常量
C．r是自变量，C是r的函数
D．将C=2πr写成，则可看作C是自变量，r是C的函数
（2）某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下（ ）：
定价（元） 100 110 120 130 140 150
销量（个） 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量，销量是变量
B．定价是变量，销量是不变量
C．定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【答案】（1）A ；（2）C
能力提升
例2
（1）下列式子中，是的函数的有_____________
①；②；③；④；⑤；⑥y=；⑦
（2）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
（3）求下列式子中自变量的取值范围．
① ② ③ ④ ⑤
【答案】（1）①②④⑥⑦；（2）D（3）①全体实数；②x≠3；③x≠-1且x≠0；④；
⑤x≥2且x≠3
例3(1) 等腰周长为，底边长为，腰长为．
①写出关于的函数关系式；
②求的取值范围；
③求的取值范围．
【答案】（1）解：①y=10﹣2x；
②∵x＞0，y＞0，2x＞y∴10﹣2x＞0，2x＞10﹣2x，解得；
③∵x=5﹣∴＜5﹣＜5，解得0＜y＜5．
（2）某地市话的收费标准为：
①通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费每分钟0.2元；
②通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.15元计算．
那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为_________（写出自变量的取值范围）
【答案】
第二层： 函数的图象
知识导入
1．函数图象的概念：
对于一个函数，如果把自变量和函数的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．
2．函数图象的画法
⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．
3．函数解析式与函数图象的关系：
由函数图象的定义可知，图象上任意一点中的，都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．
判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．
夯实基础
例4 函数图象
如图下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
能力提升
例5 根据信息找图象
（1）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
（2）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着等腰三角形AOB的边OA→AB→BO的路径去匀速散步，其中OA=OB．设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
（3）边长为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），则与的大致图象为（ ）
A B C D
（4）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地，下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D；（2）D；（3）A;（4）C；
例6 根据图象找信息
（1）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（ ）
A． B． C． D．
（2）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
（3）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（ ）
A．20 L B．25 L C．27L D．30 L
（4）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，甲、乙保持匀速运动．乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时 B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇 D．甲到B地比乙到A地早小时
【答案】（1）A（2）D；（3）B；（4）D；
横扫学霸
例7 如图是小李骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量是_____，因变量是_____；
（2）小李何时到达离家最远的地方？此时离家多远？
（3）请直接写出小李何时与家相距20km？
（4）求出小李这次出行的平均速度．
【答案】（1）离家时间，离家距离；（2）2h，30km；（3）t=1.5或t=4;（4）12km/h
例8 如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地．甲、乙两车到C地距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示．
（1）A、B两地距离为_____千米；
（2）M点的坐标是_________；
（3）在图2中补全甲车到C地的距离y1（千米）与行驶时间x（时）的函数图象；
（4）两车行驶多长时间时到C地的距离相等？
【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解；
（2）根据（1）中AB的距离，可求出乙的速度，再由BC的距离，可以求出B到达C的时间；
（3）算出甲车速度，根据AC的距离算出时间，确定终点坐标再画图；
（4）由（3）图可知，两车两次与C点距离相同，一次两车相遇在C点同侧，一次相背而行，在C两侧，从而解出时间．
【答案】（1）150；（2）（1.2,0）；（3）甲车速度60km/h，行驶完全程需要2.5h，终点坐标（2.5,90）
（4）由图可知， 在C同侧两车相遇时，150÷（60+75）=
在C异侧，设时间为x，列方程75x-90=60x-60，解得x=2
∴两车行驶或2个小时到C地距离相等．
课后创新培养
课后作业
练1
下列可以表示y为自变量x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．y=1，x∈R
【答案】A
练2
(1) 对于圆的周长公式C=2πR，下列说法错误的是（ ）
A．π是变量 B．R、C是变量 C．R是自变量 D．C是因变量
（2）函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1且x≠2
【答案】（1）A（2）B
练3 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
练4 如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到点的距离为S，则关于t的函数图象大致为( )
【答案】C
练5 如图，，分别表示步行与骑车在同一路上行驶的路程与时间的关系．
⑴出发时与相距________千米．
⑵走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是________小时．
⑶出发后________小时与相遇．
⑷若的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，________小时与相遇，相遇点离的出发点________千米．
⑸求出行走的路程与时间的函数关系式．（写出过程）
【答案】⑴10；⑵1；⑶3；⑷，；
⑸A行走的路程S与时间t的函数关系式为
先求出速度为（22.5-10）÷3=
路程=10+速度×时间．
8
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