九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程第06讲一元二次方程的常见解法和根的判别式（教案）

第6话：一元二次方程的常见解法和根的判别式
课堂思维碰撞
第一层：公式法解一元二次方程
知识导入
公式法：解一元二次方程时，先将方程化简为(、、为常数，)，然后把各个系数代入求根公式，可以直接求出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是：
x＝（b2－4ac≥0）．
一元二次方程方程的根的判别式是：△＝b2－4ac．
①当△＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：
x1＝，
x2＝；
②当△＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－；
③当△＝b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
夯实基础
例1 利用判别式判根
不解方程直接判断方程根的情况
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）两个不相等的实数根（2）两个不相等的实数根（3）两个相等的实数根（4）两个不相等的实数根（5）无实数根（6）无实数根
能力提升
例2 用公式法解一元二次方程
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）（2）（3）（4）
例3 用公式法解一元二次方程
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
第二层： 因式分解法解一元二次方程
知识导入
因式分解法：把方程左边因式分解，使方程化成了两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫做因式分解法．
夯实基础
例4　 用因式分解法解下列方程
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
能力提升
例5 用因式分解法解下列方程
（1）（a≠0）；（2）；（3）（k≠2）
（4）
【答案】（1）（2）（3）（4）
第三层：根的判别式
知识导入
一元二次方程方程的根的判别式是：△＝b2－4ac．△决定了一元二次方程根的情况：
①△＝b2－4ac＞0方程有两个不相等的实数根：
②△＝b2－4ac＝0方程有两个相等的实数根：
③△＝b2－4ac＜0方程没有实数根．
夯实基础
例6　 利用判别式判根
（1）关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0根的情况是___________
（2）关于x的一元二次方程的根的情况是___________
（3）若关于x的不等式的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程根的情况是_________
【答案】（1）有两个不相等的实数根（2）有两个实数根（3）无实数根
能力提升
例7 根据判别式求参
（1）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是___________
（2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是___________
（3）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________．
（4）方程有且只有一个实数根，则的取值范围是________
（5）方程有实数根，则k的取值范围为________
（6）方程有实数根，则k的取值范围为________
【答案】（1）4（2）且（3）（4）m=1（5）（6）
例8 判别式的应用
（1）已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解析】∵
∵，，故方程没有实根．
【答案】A
（2）已知、、是的三边的长，且方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
【解析】由题意可知，，即
故，即
从而可知，，故是等边三角形．
【答案】等边三角形
课后创新培养
课后作业
练1　　用合适的方法解方程：
⑴； ⑵ （3）
（4）0.3y2+y=0.8 (5) （6）
【答案】⑴，．⑵，．
（3）（4）（5）
（6）
练2　　已知一元二次方程：①，②．下列说法正确的是（　　）
A．①②都有实数解
B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解
D．①②都无实数解
【答案】B
练3　若，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【答案】A
练4　　如果一直角三角形的三边长分别为、、，，那么，关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解析】原方程可化为
则
而在直角三角形中可得
所以可得
即方程有两个相等的实数根．
【答案】A
4
5