棱柱、棱锥、棱台
[A级 基础巩固]
1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
解析：选B 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．
2．下列关于棱柱的说法中，正确的是( )
A．棱柱的所有面都是四边形
B．一个棱柱中只有两个面互相平行
C．一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面
D．棱柱的侧棱长不都相等
解析：选C A说法不正确，比如三棱柱的底面为三角形；B说法不正确，比如长方体中，相对侧面互相平行，两个底面互相平行；C说法正确，一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面；D说法不正确，由棱柱的定义可知棱柱的侧面为平行四边形，侧棱长都相等．故选C.
3．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
C．四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面
D．棱锥的各侧棱长相等
解析：选AC 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错．故选A、C.
4．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )
解析：选C 动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．
5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
解析：选A 如图．∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状．
6．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：n棱柱有2n个顶点，因为此棱柱有10个顶点，所以此棱柱为五棱柱．又棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm.
答案：12
7．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________(填序号)．
①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．
解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
答案：①②
8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
解析：由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案：
9．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(做出其中一个即可)
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
解：(1)如图所示，三棱锥A1 AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1 ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1 ABD(答案不唯一)．
10．如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．
解：(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱．因为以长方体其中一组相对的两个面作底面时，两个底面是互相平行的四边形，其余各面都是矩形，当然也一定是平行四边形，并且四条侧棱互相平行，符合四棱柱的定义，所以这个长方体是四棱柱．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1 CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面；截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1 DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．
[B级 综合运用]
11．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D 正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，由正六棱锥的高h、底面正六边形的边长r、侧棱长l构成直角三角形得，h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等．故选D.
12．如图所示，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
解析：选B 余下部分是四棱锥A′ BCC′B′.故选B.
13.(多选)对如图所示的几何体描述正确的是( )
A．这是一个六面体
B．这是一个四棱台
C．这是一个四棱柱
D．此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到
解析：选ACD A正确，该几何体有六个面，属于六面体．B错误，该几何体各侧棱的延长线不能交于一点．C正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱．D正确，如图所示．
14．如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝a2.
[C级 拓展探究]
15．春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心．为了美观，售货员对点心盒做了一个捆扎(如图①所示)，并在角上配了一个花结．售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎(如图②所示)包装更节省彩绳．你同意这种说法吗？请给出你的理由．(注：长方体点心盒的高小于长、宽．)
解：同意．理由如下：设长方体点心盒的长、宽、高分别为x，y，z，
依题图②的捆扎方式，把彩绳的长度记为L，则L＝2x＋2y＋4z；
依题图①的捆扎方式，绳长记为M，如图所示，由三角形中两边之和大于第三边，得
x1＋y1>m1，z＋x2>m2，x3＋y4>m3，y5＋z>m4，x6＋y6>m5，x5＋z>m6，x4＋y3>m7，y2＋z>m8，
∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋4z>m1＋m2＋m3＋m4＋m5＋m6＋m7＋m8，
即2x＋2y＋4z>M，即L>M.
∴题图①的捆扎方式更节省材料．
PAGE
5第一课时 棱柱、棱锥、棱台
新课程标准解读 核心素养
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征 直观想象
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 数学抽象
观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧．小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．
[问题] 你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？
知识点一 空间几何体
1．空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
3．旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的．
面数最少的多面体是什么？
提示：四面体．围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少的多面体是四面体．
下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．骰子
C．足球 D．金字塔
解析：选C 钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面；侧面：除底面外，其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S ABCD 底面(底)：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：除上、下底面外，其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
1．棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．
2常见的几种四棱柱之间的转化关系
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱柱的底面互相平行．( )
(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形．( )
(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．( )
(4)棱台的侧棱延长后必交于一点．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．下列棱锥有6个面的是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选C 由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．故选C.
3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
答案：①③④ ⑥ ⑤
棱柱的结构特征
[例1] 下列说法中，正确的是( )
A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
[解析] A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的结构特征．故选D.
[答案] D
判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征：
(1)有两个面互相平行；
(2)其余各面都是平行四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
[提醒] 以上三个本质特征缺一不可．
[跟踪训练]
(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
解析：选ABD 对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．故选A、B、D.
棱锥、棱台的结构特征
[例2] (链接教科书第100页例1)下列三种叙述，正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A.
[答案] A
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；
(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
[跟踪训练]
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中说法正确的序号是________．
解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案：①②
多面体的表面展开图
[例3] (1)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
(2)如图，在三棱锥V ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
[解] (1)如图，①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
(2)将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4，
∴△AEF周长的最小值为4.
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图；
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
[提醒] 解决多面体表面上两点间的最短距离问题，常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题．解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开，再用平面几何的知识来求解．
[跟踪训练]
1．画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)．
解：平面展开图如图所示：
2.如图，在以O为顶点的三棱锥中，过点O的三条棱，任意两条棱的夹角都是30°，在一条棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周，求此绳在A，B之间的最短绳长．
解：作出三棱锥的侧面展开图，如图．A，B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度．OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，所以AB＝5，即此绳在A，B之间最短的绳长为5.
1．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都不正确
解析：选B 因为棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥．
2．棱台不具备的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．所有棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
答案：C
3．某人用如图所示的纸片，沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上( )
A．快、新、乐 B．乐、新、快
C．新、乐、快 D．乐、快、新
解析：选A 根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知③处一定是“乐”字，故选A.
4．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
解析：将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2.
答案：2
5．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．
PAGE
8(共32张PPT)
