七年级下册第六章 实数第2讲初识实数（教案）
文档属性
| 名称 | 七年级下册第六章 实数第2讲初识实数（教案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 291.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 10:55:08 | ||
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文档简介
第2话 初识实数
课堂修炼塔
第一层：平方根
技能天赋
1. 平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或者二次方根．
例如： ，即和是的平方根．
表示方法：一个非负数的平方根记做（读作正负根号）或者（读作正负二次根号）．
例如：的平方根记做．
小结：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
（2）的平方根是；
（3）负数没有平方根．
2. 算术平方根：如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫做的算术平方根．
例如，，正数是的算术平方根．
注意：虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根．
表示方法：一个非负数的算术平方根记作（读作根号）或者（读作二次根号）．
例如：5的算术平方根记作．
小结：（1）一个非负数只有一个算术平方根；
（2）的算术平方根是；
（3）负数没有算术平方根 ．
3. 开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方，非负数叫做被开方数．
注意：（1）被开方数一定是非负数；（2）平方与开平方互为逆运算．
小结：； ．
初出茅庐
主线1 平方根和算术平方根的基本概念
（1）①求下列各数的平方根：
0、9、、、0.04 、3.61、3、15；
②填空： ， ， ， ．
【答案】①；②．
（2）①求下列各数的算术平方根：
0、25、、0.0144、17、101；
②填空： ， ， ，
， ．
③的算术平方根是 ，的算术平方根是 ，
【答案】①；②、无解；③．
能力觉醒
主线2 平方根的概念题
（1）对于下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数，它表示的算术平方根
B．对任意实数，它表示的平方根；
C．时，它表示的平方根
D．时，它表示的算术平方根
【答案】D
（2）有下列说法：①一个数总有两个平方根；②一个数的两个平方根互为相反数；③的算术平方根是；④算术平方根一定是正数；⑤没有算术平方根；⑥0的平方根与算术平方根都是0；⑦若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等；⑧中，a一定是正数；⑨若，则．其中正确的是 ．
【答案】⑥⑨
主线3 平方根的应用
（1）①一个数的平方根是和，则这个数是 ．
②已知一个正数的平方根是和，则这个数是________．
【答案】①36；②．
（2）①若，求的值．
②已知，求的值．
【答案】，．
主线4 平方根的相关计算和重要公式
（1）① ， ， ，
， ；
②下列各式对任意实数总成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】①无解；② D．
（2） ， ， ，
， ．
【答案】．
第二层：立方根
技能天赋
1. 立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根或者三次方根，即：如
果，则叫做的立方根．
例如，，就叫做的立方根．
表示方法：一个数的立方根记作（读作“三次根号” ），其中叫做被开方数，3
叫做根指数．
例如：8的立方根记作．
小结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根：①正数的立方根为正数；②负数的立方根为负数；③0的立方根为0．
2. 开立方：求一个数的立方根的运算．
注意：（1）被开方数可以是任意的数；（2）立方与开立方互为逆运算．
小结：，，．
能力觉醒
主线5 立方根基本概念
（1）①求下列数的立方根：﹣8、、、、；
②求下列式子的值：、、、．
【答案】①；②．
（2）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
（3）已知满足且，求的值．
【答案】或
（4）①若与9的算术平方根互为相反数，求a的值．
②若和的和为0，求的值．
【答案】①；②．
第三层：实数
技能天赋
1．无理数：无限不循环小数，如 、等．
2．实数：有理数和无理数统称为实数，如5、等．
注意：（1）实数与数轴上的点一一对应，数轴其实就是一条实数轴．
（2）当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的运算同样适用于实数．
如：①数a的相反数是-a (a表示任意实数)；② ．
3．归纳分类：
按定义分类： 按性质分类：
实数 实数
能力觉醒
主线6 实数的基本概念
（1）有下列说法：
①任何实数都可以用分数表示；②实数与数轴上的点一一对应；③是分数，它是有理数；④带根号的数和分数统称实数；⑤正实数和负实数统称实数；⑥两个无理数的和还是无理数；⑦无理数的相反数还是无理数．其中正确的是 ．
【答案】②⑦
（2）有下列实数：，其中无理数的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
（3）若是非零有理数，是无理数，则中一定是无理数的有________个．
【解析】显然一定是无理数；
当时，是有理数；
，其中为有理数，但是无理数，故是无理数．
主线7 无理数的估值、比较大小
（1）如图，数轴上、两点表示的数分别是和，点B关于点的对称点是点，则点C所表示的数为 ．
【答案】
（2）数轴上表示和的两点之间，共有 个整数点．
【答案】6
（3）如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
（4）比较下列各数的大小：
① 12、 ；
② 2 、 ；
③ 、 、 ．
【答案】①＞、＜；②＝、＞；③＝、＞、＞．
终极试炼
主线8 非负性及实数的综合应用
（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的值．
【解析】由题意：，解得，∴，∴.
（2）已知，是的立方根，且与互为相反数，求的值．
【解析】
（3）若m满足关系式，试求m的值．
【解析】由式子可得：，则此时有：，
由算术平方根的非负性得： ，
②×2-①得：，所以．
课后竞技场
日常任务
任务1 在，，0，，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
任务2 有下列各式：①；②；③；④的平方根是16；⑤使得有意义的的取值范围是．其中错误的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
任务3 估计的值在（ ）之间．
A．2与3 B．3与4 C．4与5 D．5与6
【答案】B
任务4 已知3既是的平方根，也是的立方根，求的平方根．
【答案】由题意，解得，故的平方根为．
课堂修炼塔
第一层：平方根
技能天赋
1. 平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或者二次方根．
例如： ，即和是的平方根．
表示方法：一个非负数的平方根记做（读作正负根号）或者（读作正负二次根号）．
例如：的平方根记做．
小结：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
（2）的平方根是；
（3）负数没有平方根．
2. 算术平方根：如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫做的算术平方根．
例如，，正数是的算术平方根．
注意：虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根．
表示方法：一个非负数的算术平方根记作（读作根号）或者（读作二次根号）．
例如：5的算术平方根记作．
小结：（1）一个非负数只有一个算术平方根；
（2）的算术平方根是；
（3）负数没有算术平方根 ．
3. 开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方，非负数叫做被开方数．
注意：（1）被开方数一定是非负数；（2）平方与开平方互为逆运算．
小结：； ．
初出茅庐
主线1 平方根和算术平方根的基本概念
（1）①求下列各数的平方根：
0、9、、、0.04 、3.61、3、15；
②填空： ， ， ， ．
【答案】①；②．
（2）①求下列各数的算术平方根：
0、25、、0.0144、17、101；
②填空： ， ， ，
， ．
③的算术平方根是 ，的算术平方根是 ，
【答案】①；②、无解；③．
能力觉醒
主线2 平方根的概念题
（1）对于下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数，它表示的算术平方根
B．对任意实数，它表示的平方根；
C．时，它表示的平方根
D．时，它表示的算术平方根
【答案】D
（2）有下列说法：①一个数总有两个平方根；②一个数的两个平方根互为相反数；③的算术平方根是；④算术平方根一定是正数；⑤没有算术平方根；⑥0的平方根与算术平方根都是0；⑦若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等；⑧中，a一定是正数；⑨若，则．其中正确的是 ．
【答案】⑥⑨
主线3 平方根的应用
（1）①一个数的平方根是和，则这个数是 ．
②已知一个正数的平方根是和，则这个数是________．
【答案】①36；②．
（2）①若，求的值．
②已知，求的值．
【答案】，．
主线4 平方根的相关计算和重要公式
（1）① ， ， ，
， ；
②下列各式对任意实数总成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】①无解；② D．
（2） ， ， ，
， ．
【答案】．
第二层：立方根
技能天赋
1. 立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根或者三次方根，即：如
果，则叫做的立方根．
例如，，就叫做的立方根．
表示方法：一个数的立方根记作（读作“三次根号” ），其中叫做被开方数，3
叫做根指数．
例如：8的立方根记作．
小结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根：①正数的立方根为正数；②负数的立方根为负数；③0的立方根为0．
2. 开立方：求一个数的立方根的运算．
注意：（1）被开方数可以是任意的数；（2）立方与开立方互为逆运算．
小结：，，．
能力觉醒
主线5 立方根基本概念
（1）①求下列数的立方根：﹣8、、、、；
②求下列式子的值：、、、．
【答案】①；②．
（2）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
（3）已知满足且，求的值．
【答案】或
（4）①若与9的算术平方根互为相反数，求a的值．
②若和的和为0，求的值．
【答案】①；②．
第三层：实数
技能天赋
1．无理数：无限不循环小数，如 、等．
2．实数：有理数和无理数统称为实数，如5、等．
注意：（1）实数与数轴上的点一一对应，数轴其实就是一条实数轴．
（2）当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的运算同样适用于实数．
如：①数a的相反数是-a (a表示任意实数)；② ．
3．归纳分类：
按定义分类： 按性质分类：
实数 实数
能力觉醒
主线6 实数的基本概念
（1）有下列说法：
①任何实数都可以用分数表示；②实数与数轴上的点一一对应；③是分数，它是有理数；④带根号的数和分数统称实数；⑤正实数和负实数统称实数；⑥两个无理数的和还是无理数；⑦无理数的相反数还是无理数．其中正确的是 ．
【答案】②⑦
（2）有下列实数：，其中无理数的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
（3）若是非零有理数，是无理数，则中一定是无理数的有________个．
【解析】显然一定是无理数；
当时，是有理数；
，其中为有理数，但是无理数，故是无理数．
主线7 无理数的估值、比较大小
（1）如图，数轴上、两点表示的数分别是和，点B关于点的对称点是点，则点C所表示的数为 ．
【答案】
（2）数轴上表示和的两点之间，共有 个整数点．
【答案】6
（3）如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
（4）比较下列各数的大小：
① 12、 ；
② 2 、 ；
③ 、 、 ．
【答案】①＞、＜；②＝、＞；③＝、＞、＞．
终极试炼
主线8 非负性及实数的综合应用
（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的值．
【解析】由题意：，解得，∴，∴.
（2）已知，是的立方根，且与互为相反数，求的值．
【解析】
（3）若m满足关系式，试求m的值．
【解析】由式子可得：，则此时有：，
由算术平方根的非负性得： ，
②×2-①得：，所以．
课后竞技场
日常任务
任务1 在，，0，，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
任务2 有下列各式：①；②；③；④的平方根是16；⑤使得有意义的的取值范围是．其中错误的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
任务3 估计的值在（ ）之间．
A．2与3 B．3与4 C．4与5 D．5与6
【答案】B
任务4 已知3既是的平方根，也是的立方根，求的平方根．
【答案】由题意，解得，故的平方根为．