七年级下册第八章 二元一次方程组第4讲多元方程组及其特殊解法（教案）

第4话 多元方程组及其特殊解法
课堂修炼塔
第一层：二元一次方程组的特殊解法
技能天赋
<复习回顾>
1．二元一次方程：
（1）定义：含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程．
（2）四个必需条件：①含有两个未知数；②未知数的系数不为0；③含有未知数的项的次数是1；④等式两边都是整式．
2．二元一次方程组：
（1）定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
（2）四个必需条件：①含有两个未知数；②未知数的系数不全为0；③每个含未知数的项的次数为1；④每个方程都是整式方程．
3．二元一次方程组的一般解法：
（1）代入消元法
代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．解法步骤如下：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如），用含有另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式；
②代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出的值；
④回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解．
⑤把这个方程组的解写成的形式．
例：解方程组．
解：由①得：③
将③代入②，得：，解之得：④
将④代入③，得：，
所以方程组的解为：．
（2）加减消元法
加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．
当二元一次方程组的两个方程中，同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法．解法步骤如下：
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；
⑤把这个方程组的解写成的形式．
例：解方程组．
解：①×3得： ③
②×2得： ④
③－④得：，解之得：，
将代入①得：，解得：，
所以方程组的解为： ．
4．二元一次方程组的特殊解法：
对于一些特殊形式的方程组，我们有特殊的解法．本讲涉及：系数轮换、合并系数化“1”、整体思想、设参数法（含比例的方程组）、消常数法、裂项换元（移项消元）法．
初出茅庐
主线1 复习回顾
（1）有下列方程，其中是二元一次方程的个数是（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
（2）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
（3）解下列方程组：
①； ②；
③； ④．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
能力觉醒
主线2 系数轮换、合并系数化“1”
（1）
（2）
【答案】（1）；；（2）；．
主线3 整体思想（换元、整体代入）、含比例的方程组（设参数）
（1） ；
（2）
【答案】（1）；；（2）．
主线4 消常数法、裂项换元（移项消元）法
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）；；（2）；．
第二层：三元一次方程组的解法
技能天赋
1. 概念
（1）三元一次方程：
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1、系数不等于0的整式方程，叫做三元一次方程．如、等都是三元一次方程．
（2）三元一次方程组：
方程组含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，系数不都是0，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
如：、等都是三元一次方程组．
（3）三元一次方程(组)的解：
代入后能使等式成立的未知数的值，叫做三元一次方程(组)的解，一般写作数组的形式，即．
2. 基本解法：
解三元一次方程组的基本思想仍是消元．一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后回代求出另一个未知数，如下所示：
三元二元一元．
一般步骤如下：
①消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
②求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得一个一元一次方程；
④求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
⑤联立：将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
3．特殊解法
对于一些形式特殊的三元一次方程组，我们有特殊的解法，本讲只介绍两类：
一类是系数轮换的方程组，一般采取叠加叠减法；另一类是含比例式的方程组，一般采取设参数法．
能力觉醒
主线5 解下列方程组：
一般型：
.
【答案】.
系数轮换型：
； .
【答案】； .
含比例型：
； ； .
【答案】； ； .
第三层：二元一次方程组的应用
技能天赋
列二元一次方程组解应用题时，要注意到题目中必有两个条件，各用来列一个二元一次方程，构成方程组．
解实际问题的一般步骤：
(1)审题，分析题目中的己知条件和未知条件；
(2)找等量关系(画图法或列表法等)；
(3)设未知数列方程组；
(4)求解方程组；
(5)检验(包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验)；
(6)写出答案.
能力觉醒
主线6 销售、方案选择、配套问题
某中学组织师生租车去韶山举行毕业联欢活动．平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元；八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元；九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．问：
（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
【答案】（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为元，元．
由题意，列方程组，解之得
（2）九年级师生共需租金：（元）
主线7 工程、行程、和差倍分问题
一个人某天骑车上班比平时每分钟快米，结果提前分钟到达工作地点，下班时，每分钟比平时慢米，结果晚到家分钟．问他从家到工作单位的距离是多少？
【解析】设原来每分钟的速度为米/分，原定的时间为分．
依题意可得：
整理可得，解得．
故，即他从家到工作单位的距离是米．
主线8 其他问题（数字、图形、浓度、分类讨论、牛吃草问题等）
小扬在珠江新城购买了一套单身公寓，公寓平面结构如图所示．根据图中的数据(单位：)，解答下列问题：
（1）写出用含的代数式表示的地面总面积；
（2）已知客厅面积比厕所面积多，且地面总面积是厕所面积的倍．若他要将地面铺上地砖，每平方米地砖的费用为元，求铺地砖的总费用为多少元
【答案】（1）；
（2）由题意可得： ，解得，
总铺地砖的费用：元．
终极试炼
主线9 多元方程组、牛吃草问题
（1）①已知，求
【答案】
②已知，求的值．
【答案】
（2）一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20
天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于
马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
【答案】设每头牛每天吃草x，每头羊每天吃草y，草每天增长z，牧场原有草量是“1”，
，解得
马、牛、羊一起吃n天吃完，则：
解得：，所以马、牛、羊一起去吃草，12天可以将这片牧草吃尽．
课后竞技场
日常任务
任务1
某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共
30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
任务2 解下列方程组：
（1）； （2）
（3）； （4）
【答案】（1） ；（2） ； （3） ； （4）．
任务3
在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．求小长方形花圃的长和宽．
【答案】设长和宽分别为，则有，解得： ．