第二课时 平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理
(1)在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直；
(2)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
[问题] 通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
对面面垂直的性质定理的再理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直；
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
提示：正确．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( )
(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.( )
(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
平面与平面垂直性质定理的应用
[例1] (链接教科书第160页例9，例10)如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．
求证：平面PBG⊥平面PAD.
[证明] ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G为AD边的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BG 平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
∵BG 平面PBG，
∴平面PBG⊥平面PAD.
应用面面垂直性质定理要注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
[跟踪训练]
1.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.
证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.
由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.
又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.
2.如图，在平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝2，
∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.
∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB 平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE 平面EBD，
∴AB⊥DE.
垂直关系的转化
[例2] 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[证明] (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
[跟踪训练]
如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥D ABC，如图②所示．求证：BC⊥平面ACD.
证明：在题图①中，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，∴AC＝2.又CD∥AB，AB＝4，∴BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.
法一：在题图②中取AC的中点O，连接OD(图略)，则DO⊥AC.
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD 平面ACD，∴OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC.
又AC⊥BC，AC∩OD＝O，∴BC⊥平面ACD.
法二：∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．l β D．平行或l β
解析：选D 如图l∥β或l β.故选D.
2．如图所示，三棱锥P ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．
解析：设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形．
答案：直角
3.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
证明：在三棱柱ABC A1B1C1中，
四边形BCC1B1为平行四边形，
因为BC＝CC1，
所以四边形BCC1B1为菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，
且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
PAGE
5平面与平面垂直的性质
[A级 基础巩固]
1．下列命题错误的是( )
A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于β
B．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线
C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线
D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
解析：选A 在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1 平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错．
2．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
解析：选B A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.故选B.
3.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行
B．EF 平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．垂直
解析：选D 由于正方体中面ABB1A1⊥面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．故选D.
4．(多选)如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：选ABC 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立．故选A、B、C.
5.如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A 连接AC1(图略)．∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
6.如图，在三棱锥P ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
答案：
7.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．
解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC.
可知DE⊥CE.
由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.
答案：2
8．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
9.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明：(1)因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD 平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，
所以直线A1F∥平面ADE.
10.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝BE.求证：EA⊥平面ABCD.
证明：设AF＝EF＝a，则BE＝2a.
如图，过点A作AM⊥BE于点M，
∵AF∥BE，∴AM⊥AF.
又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，
又AF＝EF，
∴四边形AMEF是正方形．
∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝a，
∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE 平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.
[B级 综合运用]
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．7
C. D．
解析：选A 如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小．由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2.
12．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则在翻折过程中，可能成立的结论为( )
A．DF⊥BC B．BD⊥FC
C．平面BDF⊥平面BCF D．平面CDF⊥平面BCF
解析：选BC 对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交且不垂直，所以BC与DF不垂直，故A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，若BP⊥CF，则BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使BP⊥CF，故B正确；对于C，当点P落在BF上时，DP⊥平面BCF，DP 平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCF，故C正确；对于D，因为点D的射影不可能在FC上，所以平面CDF⊥平面BCF不成立，即D错误．故选B、C.
13.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，
可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
答案：
14.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°.
(1)求证：C1B⊥平面A1B1C1；
(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长．
解：(1)证明：由AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B.
由BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，即C1B⊥CB.
又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.
由棱柱的性质，知平面ABC∥平面A1B1C1，
所以C1B⊥平面A1B1C1.
(2)因为AB⊥侧面BB1C1C，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.过点C1作C1P⊥BB1，交BB1于点P，连接AP(图略)，则C1P⊥平面AA1B1B.
又C1P 平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.
在 BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，
所以B1P＝B1C1＝BC＝.
[C级 拓展探究]
15．如图a，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图b，点E是线段AM的中点．
(1)求四棱锥D ABCM的体积；
(2)求证：平面BDE⊥平面ABCM；
(3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l 平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由．
解：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABCM.
∴四棱锥D ABCM的体积V＝SABCM·DE＝××＝.
(2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE 平面DEB，
∴平面DEB⊥平面ABCM.
(3)过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l 平面ABCM；②l⊥AD.理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM(图略)，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，
∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD.
PAGE
6(共21张PPT)
