(共24张PPT)平面与平面垂直的判定
[A级 基础巩固]
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
解析：选D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．又a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.
3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．相等或互补
解析：选D 如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α l β的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.此时两角互补；当∠BDC＝90°时，此时∠A＝∠BDC，两角相等．故选D.
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1 BD A的正切值等于( )
A. B.
C. D．
解析：选C 如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1 BD A的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，所以tan∠A1OA＝＝.
5.(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：选ABD 由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确．
6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P BC A的大小为________．
解析：取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P BC A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________．
解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，
所以∠BDC为二面角B AD C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，
连接BC(图略)，则BC＝
＝ ＝1.
答案：1
8．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝，则二面角C1 BD C的大小为________．
解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，
∵AB＝AD＝2 ，
∴CO⊥BD，CO＝.
∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，
∴C1O⊥BD.
∴∠C1OC为二面角C1 BD C的平面角．
tan ∠C1OC＝＝＝.
∴∠C1OC＝30°，即二面角C1 BD C的大小为30°.
答案：30°
9.如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC.
(2)法一：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
因为AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
法二：因为AB∥DC，DC⊥平面PAC，所以AB⊥平面PAC.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
10.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝eq \r(B1C＋MC)＝，同理BM＝＝，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
[B级 综合运用]
11．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′的位置，此时A′C＝，则( )
A．平面A′BD⊥平面BDC
B．平面A′BD⊥平面A′BC
C．平面A′DC⊥平面BDC
D．平面A′DC⊥平面A′BC
解析：选AD 在三棱锥A′ BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝，DC＝，又A′C＝，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D，又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC.故选A、D.
12．三棱锥V ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，则二面角V AB C的大小为________．
解析：如图，取AB中点O，连接VO，CO.
∵在三棱锥V ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，
∴VO⊥AB，CO⊥AB，
∴∠VOC是二面角V AB C的平面角．
∵VO＝ ＝＝1，
CO＝ ＝＝1，
∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形．
∴∠VOC＝60°，∴二面角V AB C等于60°.
答案：60°
13．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(答案不唯一，写出一个即可)．
解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，也可能m α，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，也可能n β，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，则②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，则①m⊥n一定成立．∴①③④ ②(或②③④ ①)．
答案：①③④ ②(或②③④ ①)
14.如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
[C级 拓展探究]
15.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
解：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．
因为△PAD为等边三角形，
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PGB，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而EF，DE 平面DEF，PB，GB 平面PBG，EF∩DE＝E，PB∩BG＝B，
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD 平面ABCD，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
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5第一课时 平面与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 数学抽象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 逻辑推理
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学运算
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．
[问题] 你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？
知识点一 二面角
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
2．概念
二面角的棱 二面角的面 记法
AB(l) α，β 二面角α AB β；二面角α l β；二面角P l Q；二面角P AB Q
3．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；
(2)范围：0°≤α≤180°；
(3)直二面角：平面角是直角的二面角．
二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补．( )
(2)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．( )
答案：(1)√ (2)√
2.如图所示的二面角可记为( )
A．α β l B．M l N
C．l M N D．l β α
解析：选B 根据二面角的记法规则可知B正确．故选B.
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角D1 AB D的平面角的大小是________．
解析：∵AB⊥平面ADD1A1，
∴AB⊥AD，AB⊥AD1，
∴∠D1AD为二面角D1 AB D的平面角．
易知∠D1AD＝45°.
答案：45°
知识点二 平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；
(2)画法：
(3)记作：．
2．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
图形语言
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.( )
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．垂直 D．相交不垂直
解析：选C 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
3．在长方体ABCD A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的面有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选C 与平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个．
二面角大小的计算
[例1] 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A PD C的大小；
(2)求二面角B PA C的大小．
[解] (1)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A PD C的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B PA C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B PA C的大小为45°.
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
[注意] 作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点．
[跟踪训练]
如图，已知D，E分别是正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.设平面DEC1与平面A1B1C1相交于直线l，求二面角A1 l D的大小．
解：如图所示，延长DE交A1B1的延长线于点F，连接C1F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点，C1F为这两个平面的交线l.
因此，所求二面角A1 l D即为二面角D C1F A1.
∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E，
∴E，B1分别为DF，A1F的中点．
∵A1B1＝B1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1 平面A1B1C1，
∴CC1⊥FC1.
又A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，
∴FC1⊥平面AA1C1C.
∵DC1 平面AA1C1C，∴FC1⊥DC1.
∴∠DC1A1是二面角D C1F A1的平面角．
由A1D＝B1C1知A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°.
故所求二面角的大小为45°.
平面与平面垂直的证明
[例2] (链接教科书第157页例7)如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
[证明] 法一(利用定义证明)：因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A BC S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A BC S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二(利用判定定理)：因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[跟踪训练]
如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.
证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1 平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
1．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：选C 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．
2.如图，在四面体P ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，则二面角D BC A的大小为________．
解析：取BC的中点，记为E，连接EA，ED，EP(图略)．
∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE，
又AE∩PE＝E，AE，PE 平面PAE，∴BC⊥平面PAE.
又DE 平面PAE，∴BC⊥DE，
∴∠AED即二面角D BC A的平面角．
又由条件，知AE＝PE＝AB＝，AD＝PA＝，
∴DE⊥PA，∴sin∠AED＝＝.
又易知∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，
即二面角D BC A的大小为60°.
答案：60°
3．如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD 平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
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