(共28张PPT)直线与平面垂直的性质
[A级 基础巩固]
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，若m与l不重合，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析：选C ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
解析：选B 因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.
3．已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝( )
A．2 B．1
C. D．
解析：选A 如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以＝. 因为OA＝AB，所以＝. 因为AC＝1，所以BD＝2.故选A.
4．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中正确的是( )
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成的角为45°
D．异面直线MN与DD1所成的角为60°
解析：选ABC 如图，连接BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点知MN∥A1D.因为A1D 平面ADD1A1，MN 平面ADD1A1，所以MN∥平面ADD1A1故A正确；易知AB⊥平面ADD1A1，A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又MN∥A1D，所以AB⊥MN，故B正确；易知MN与平面ABCD所成的角即为A1D与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确；易知MN与DD1所成角即为A1D与DD1所成角，为45°，故D错误．故选A、B、C.
5．如图，在正四棱锥S ABCD中，E是BC的中点，点P在△SCD内及其边界上运动，并且总有PE⊥AC，则动点P所组成的集合与△SCD组成的图形是( )
解析：选A 取CD的中点F，SC的中点Q.连接BD，EQ，FQ，EF(图略)，则EQ綉SB，EF綉BD.∵在正四棱锥S ABCD中，SB在平面ABCD内的射影在BD上，且AC⊥BD，∴AC⊥SB，故AC⊥EQ.又AC⊥BD，∴AC⊥EF，又EF∩EQ＝E，∴AC⊥平面EQF，∴当点P在FQ上移动时，总有AC⊥PE.故选A.
6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．
解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD一定是菱形．
答案：菱形
7.如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝，ED＝.则点B到平面AED的距离为________，EF到平面ABCD的距离为________．
解析：由题意知，ED⊥平面ADCB，∴ED⊥AB.
又∵AB⊥AD，ED∩AD＝D，∴AB⊥平面AED，
∴BA即为所求距离，
因此点B到平面AED的距离为2.
∵ED⊥平面ADCB，
∴E到平面ADCB的距离为.
∵EF∥平面ABCD，
∴EF到平面ABCD的距离也是.
答案：2
8．一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是________．
解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
答案：30°
9．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D，①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.
同理可得DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D， ②
由①②可知EF∥BD1.
10．已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.
(1)求点B1到平面A1BCD1的距离；
(2)求B1C1到平面A1BCD1的距离．
解：(1)如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.
由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E 平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B＝B，
∴B1E⊥平面A1BCD1，
∴线段B1E的长即为所求．
在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝，
∴点B1到平面A1BCD1的距离为.
(2)∵B1C1∥BC，且B1C1 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，
∴B1C1∥平面A1BCD1.
∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求，
∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.
[B级 综合运用]
11.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
解析：选B 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四点共面．又PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
12.(多选)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是( )
A．不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC
B．不论D折至何位置，都有MN⊥AE
C．不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB
D．在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD
解析：选ABD 折叠后如图，分别取EC，ED中点P，Q，连接NP，PQ，QM，易知N是AC，BE的交点，因此N也是AC中点，而M是AD的中点，
∴NP∥AE∥MQ，NP＝AE＝MQ，∴MNPQ是平行四边形，∴MN∥PQ，
MN 平面DEC，PQ 平面DEC，∴MN∥平面DEC，A正确；
折叠过程中AE⊥ED，AE⊥EC保持不变，又ED∩EC＝E，∴AE⊥平面DEC，从而AE⊥PQ，∴AE⊥MN，B正确；
若MN∥AB，则MN，AB共面，即M，N，P，Q共面，从而直线AM，BN共面，这样MN在平面ABN内，即在平面ABC内，矛盾，C错误；
当ED⊥EC时，又EC⊥EA，而ED∩EA＝E，∴EC⊥平面ADE，AD 平面ADE，∴EC⊥AD，D正确．
13.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与② B．①与③
C．②与③ D．③与④
解析：选B 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.
14.在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又AE 平面PAD，所以AE⊥DC.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE.
[C级 拓展探究]
15.如图，在四面体P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
(1)证明：BC⊥平面PAB；
(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由题知AB＝1，BC＝，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝＝，
所以AE＝，CE＝，
所以＝，所以CD＝，PD＝.
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6第二课时 直线与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理
3.了解直线与平面、平面与平面的距离 直观想象
[问题] (1)如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；
(2)如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
在长方体ABCD A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
提示：棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b与α相交
解析：选C 由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.
2.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.
解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE.
∵AF＝DE，
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴EF＝AD＝6.
答案：6
知识点二 线面距与面面距
1．直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离．
2．平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．( )
(2)到已知平面距离相等的两条直线平行．( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选B 如图，连接AC，与DB交于点O，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.
∵AB＝2，∴AC＝2，
∴CO＝AC＝.
3．线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
答案：4
直线与平面垂直的性质应用
[例1] (链接教科书第155页练习3题)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
[跟踪训练]
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：AE∥MN.
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
空间中的距离问题
[例2] 如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．
[解] 如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，连接GH，作OK⊥GH于点K.
∵四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，H为AO的中点．
∵BD∥EF，BD 平面GFE，
∴BD∥平面GFE.
∴点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离．
∵BD⊥AC，∴EF⊥AC.
∵GC⊥平面ABCD，∴GC⊥EF.
∵GC∩AC＝C，∴EF⊥平面GCH.
∵OK 平面GCH，∴EF⊥OK.
∵OK⊥GH，GH∩EF＝H，
∴OK⊥平面GEF，即OK的长就是点B到平面GEF的距离．∵正方形ABCD的边长为4，CG＝2，
∴AC＝4，HO＝，HC＝3.
在Rt△HCG中，HG＝＝.
在Rt△GCH中，OK＝＝.
故点B到平面GEF的距离为.
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变，如何求直线BD到平面GEF的距离呢？
解：先证明BD∥平面GEF，将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离，过程和答案与例题一致．
求点到平面的距离一般有两种方法
(1)构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；
(2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解．
[跟踪训练]
已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为( )
A. B.
C. D．
解析：选C 因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，
由等体积法可得VC1 AB1D1＝VA B1C1D1，
即h·××22×sin 60°＝××××，
解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.
直线与平面垂直关系的综合应用
[例3] 斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
[证明] (1)因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
[跟踪训练]
如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A．b⊥α B．b α
C．b∥α D．b∥α或b α
解析：选D 当b α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直．因为直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b α，故选D.
2.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C. D．
解析：选D 因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ ＝＝.故选D.
3.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
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