(共30张PPT)直线与平面垂直的判定
[A级 基础巩固]
1．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于( )
A．20° B．70°
C．90° D．110°
解析：选B ∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：选A 由题图可知，∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
解析：选B 由几何体ABCD A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1.
4．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列结论，其中正确的结论是( )
A．AC∥平面CB1D1
B．AC1⊥平面CB1D1
C．AC1与底面ABCD所成角的正切值是
D．AD1与BD为异面直线
解析：选BCD 因为AC∩平面CB1D1＝C，所以AC与平面CB1D1不平行，故A错误；
连接BC1，A1C1(图略)，易证AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C.因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故B正确；
因为CC1⊥底面ABCD，所以∠C1AC即为AC1与底面ABCD所成的角，所以tan∠C1AC＝＝，故C正确；
AD1与BD既无交点也不平行，所以AD1与BD为异面直线，故D正确．
5．(多选)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
解析：选ABC ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．
6．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．
答案：4
7．在正方体ABCD A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________．
解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，
则易证A1D⊥平面ABC1D1，
∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.
∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.
答案：(1)45° (2)30°
8．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．
解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，
∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.
答案：90°
9．如图，在四面体A BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD.
证明：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)．
∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.
又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.
∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，
∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.
又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.
10.如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点C到AB1的距离为CE，D为AB的中点．
求证：(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A 平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1 平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE 平面CED，
所以AB1⊥平面CED.
[B级 综合运用]
11.如图，点A∈α，点B∈α，点P α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内所组成的集合是( )
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
解析：选B 连接BC，AB(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．
12．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
解析：选BD 对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选B、D.
13．在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可)．
解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
答案：A1C1⊥B1C1(答案不唯一)
14．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥平面B1ED1.
证明：∵ABCD A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面BB1C1C，
又B1E 平面BB1C1C，∴AB⊥B1E.
∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1.
如图，连接A1C1，
∵AB＝AD，∴长方体的底面A1B1C1D1为正方形，
∴A1C1⊥B1D1.
又AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.
又AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，
∴B1D1⊥AC1.
又B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面B1ED1.
[C级 拓展探究]
15.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
解：(1)证明：因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，
所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面AA1B1B.
(2)如图，作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．证明如下：
因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，
所以AB1⊥平面C1DF.
因为AA1＝A1B1＝，所以四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，所以F为BB1的中点，
所以当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.
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5第一课时 直线与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的判定定理 逻辑推理
3.了解直线与平面所成角 直观想象
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
[问题] (1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点一 直线与平面垂直
1．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
2．概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 垂线段的长度
3．性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
提示：不一定．
如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB 平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直．不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.
直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：选A 因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，
又m α，所以l⊥m，
所以直线l与m不可能平行．
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
对线面垂直判定定理的再理解
(1)该定理有五个条件：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，这五个条件缺一不可．但对l⊥a，l⊥b在什么位置(过不过a，b的交点)、以什么方式(共面或异面)都不作要求，正是这种不作要求的“宽松”条件，使得证明直线与平面垂直的方法很灵活；
(2)“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例如：若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直．
定理中的“相交”能去掉吗？
提示：不能．
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
解析：选C 由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
2．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
C．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α
D．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α
解析：选CD 对于A、B，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．C、D是正确的．故选C、D.
知识点三 斜线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的交点A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是
取值范围 0°≤θ≤90°
对斜线和平面所成的角的定义的理解
(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；
(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；
AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
答案：45° 45° 0°
线面垂直概念的理解
[例1] (链接教科书第151页例3)下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
[解析] 当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．
[答案] ③④
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直 线面垂直；
(2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直 线线垂直．
[跟踪训练]
如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
答案：①③④
直线与平面垂直的判定
[例2] (链接教科书第152页练习2题)如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
[证明] ∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
[母题探究]
(变条件，变设问)在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？
解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
线线垂直和线面垂直的相互转化
[跟踪训练]
1.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.证明：B1C⊥AB.
证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO.
因为BC1∩AO＝O，所以B1C⊥平面ABO.
由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB.
2.如图，在四面体PABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF.
证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，CF＝，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，
∴PB⊥平面CEF.
直线与平面所成的角
[例3] (链接教科书第152页例4)如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
[解] 由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[跟踪训练]
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．
解：(1)如图所示，连接DB，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．
∵DB＝AB，D1B＝AB，
∴cos∠D1BD＝＝，
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.
(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角，
在Rt△EA1F中，
∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，
即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n β D．m⊥n，且n∥β
解析：选B A中，由α∥β，且m α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C、D中，m β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
解析：如图所示，连接B1D1，
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，
则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，
则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
3.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
证明：∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1 平面BB1O，
∴AC⊥平面BB1O，
又EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
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