(共19张PPT)
(:)C直线与直线垂直
[A级 基础巩固]
1.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面但不垂直
D．异面且垂直
解析：选D 因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC(图略)，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．故选D.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有( )
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
解析：选D 在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.
3．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是( )
A．AB与CD所在直线垂直
B．CD与EF所在直线平行
C．AB与MN所在直线成60°角
D．MN与EF所在直线异面
解析：选CD 画出原正方体如图所示，
连接DN，DM，由图可知A、B错误；
AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，
所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；
显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的．
故选C、D.
4．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C.
5．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成的角的正切值为( )
A. B．2
C. D．4
解析：选A 取A′D的中点N，连接PN，MN(图略)．因为M是A′C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故选A.
6．在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条．
解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．
答案：2
7．已知四面体A BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．
解析：设四面体A BCD的棱长为a，直线AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF(图略)．由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF为异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝a，EF＝a，则在△AEF中，cos∠AEF＝＝.
答案：
8．如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．
解析：与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
答案：1
9．如图，正四棱锥P ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值．
解：如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，
因为E是PC的中点，
所以OE是△PAC的中位线，
则OE綉PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，
则cos∠OEB＝
＝＝.
10．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求证：EF⊥A1C1.
解：(1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)证明：连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1.
[B级 综合运用]
11．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′ DEF，则HG与IJ所成角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．0°
解析：选B 如图所示，在三棱锥A′ DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG与IJ所成的角与A′D与DF所成的角相等．显然A′D与DF所成的角的大小为60°，所以HG与IJ所成角的大小为60°，故选B.
12．在四面体A BCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为( )
A. B.
C. D．
解析：选B 如图，把四面体A BCD补成一个长、宽、高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF∥AC，所以∠EFG即为异面直线EF与AC所成的角，GF＝AC＝1.同理GE∥BD，GE＝BD＝1.易得AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，则∠EFG＝，即异面直线EF与AC所成的角为，故选B.
13．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点．设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则sin2α＋sin2β＝________．
解析：取正方形B1C1CB的中心为点O，连接OC1，OE(图略)．
因为E是正方形ADD1A1的中心，
所以由正方体的性质易知OE∥AB，
所以∠C1EO为异面直线C1E与AB所成的角，即∠C1EO＝β.
取BC的中点H，连接GH，FH.
因为F是正方形ABCD的中心，所以FH∥AB，
所以∠GFH为异面直线GF与AB所成的角，即∠GFH＝α.
设正方体的棱长为2，
在△GFH中，GH＝，FH＝1，GF＝，
所以GH2＋FH2＝GF2，即∠FHG＝90°，
则sin α＝.
在△C1EO中，OE＝2，C1E＝，OC1＝，
所以OE2＋OC＝C1E2，即∠EOC1＝90°，
则sin β＝＝，
所以sin2α＋sin2β＝1.
答案：1
14.如图所示，四面体A BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度．
解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图．则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝BD＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝.
故EF的长度为1或.
[C级 拓展探究]
15.如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题．
(1)求三棱锥A1 APB的体积；
(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，
∴S△PAB＝×2×2＝2，
∴三棱锥A1 APB的体积VA1 APB＝S△PAB·AA1
＝×2×3＝2.
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点(图略)，∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
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6直线与直线垂直
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系 逻辑推理
2.会求两异面直线所成的角 直观想象
如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面．
[问题] (1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？
(2)如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？
知识点 异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°．
3．垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．
1．两条直线垂直，一定相交吗？
提示：不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，不相交．
2．两条不重合的直线所成的角是0°时，这两直线的位置关系是什么？
提示：平行．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同．( )
(2)异面直线a与b所成角可以是0°.( )
(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为__________.
解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
答案：60°
3．已知正方体ABCD EFGH，则AH与FG所成的角是________．
解析：如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角. 因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
答案：45°
求异面直线所成的角
[例1] 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
[解] 如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
求两异面直线所成角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；
(2)计算角：求角度，常利用三角形；
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
[注意] 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：
中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形中见，指出成角很关键；
求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
平行直线若在外，补上原体在外边．
[跟踪训练]
在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 如图，连接A1C1，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角或其补角．
因为tan∠A1AC1＝＝
＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.
证明直线与直线垂直问题
[例2] 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
[证明] 如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
证明空间中两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
[跟踪训练]
对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，判定四边形MNPQ的形状．
解：如图所示，∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
PQ∥AC，且PQ＝AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形．
1．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________．
解析：由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.
答案：AB，A1B1
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为________．
解析：连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角)．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
答案：60°
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD.
证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，AO1，∵ABCD A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
易证AB1＝AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.
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