(共23张PPT)平面与平面平行的性质
[A级 基础巩固]
1．两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
解析：选A 根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行．故选A.
2．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关系可能是( )
A．平行或相交 B．相交或异面
C．平行或异面 D．平行、相交或异面
解析：选D 当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，
显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．故选D.
3．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面
解析：选D 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．故选D.
4．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A. a∥b B. a∥b
C. α∥β D． a∥b
解析：选AD 对于A，由平行线的传递性可知，A正确；
对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能异面，故B不正确；
对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可以平行，也可以相交，故C不正确；
对于D，由面面平行的性质定理可知，D正确．
5.如图，在多面体ABC DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
解析：选A 如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，
则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，
∴DE∥FM，且DE＝FM.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，
∴AB∥DE，
∴AB∥FM.
又AB＝DE，
∴AB＝FM，
∴四边形ABFM是平行四边形，
∴BF∥AM.
又BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD.故选A.
6．已知平面α∥β，直线a α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行．
其中真命题的序号是________．
解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确．
答案：②
7．六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是______．
解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.
答案：平行
8.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝______AC.
解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.
∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC.∴MN綉AC.
答案：
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明：如图，过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，
则＝.
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴＝.∴FG∥B1C1∥BC，
易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又∵EG∩FG＝G，EG，FG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF 平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
10.如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.证明：Q为BB1的中点．
证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD.
从而平面α与这两个平面的交线互相平行，即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边互相平行，于是△QBC∽△A1AD.
所以＝＝＝，即Q为BB1的中点．
[B级 综合运用]
11．(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法，其中说法正确的是( )
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三点共线
D．平面MNQ∥平面APC
解析：选BC A项，MN∥AC，连接AM，CN(图略)，得AM，CN交于点P，即MN 平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；B项，将平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正确的；C项，由BP＝BD1，以及B项知△APB∽△MPD1，所以A，P，M三点共线，是正确的；D项，将直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．
12.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________．
解析：∵平面α∥平面ABC，
∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′.由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.∵△PAB∽△PA′B′，PA′∶AA′＝2∶3，∴＝＝，∴＝＝＝.
答案：
13．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是________，截面的面积是________．
解析：如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1，
因为MN∥AD1，AD1∥BC1，
故MN∥BC1，
且MN＝BC1＝.
则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1＝BN＝，可得梯形的高为，所以梯形的面积为(＋2)×＝.
答案：等腰梯形
14.如图，已知在三棱柱ABC A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O，
所以D1为线段A1C1的中点，
所以D1C1＝A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，
平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.
又因为AD∥D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，所以＝1.
[C级 拓展探究]
15．在底面是菱形的四棱锥P ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)证明：l∥CD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AB∥平面PCD.
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.
所以AB∥l，所以l∥CD.
(2)存在．当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明：如图，取PC的中点F，PE的中点M，连接FM.
由于M为PE的中点，F为PC的中点，
所以FM∥CE.
由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，所以E是MD的中点．
连接BM，BD.设BD∩AC＝O，连接OE.因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点．
所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB 平面BFM，CE，OE 平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF 平面BFM，
所以BF∥平面AEC.
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6第二课时 平面与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题 直观想象
当平面α∥平面β时，α与β没有公共点，此时，若l α，m β，则l∩m＝ ，这就是说，l与m的位置关系是异面或平行．
[问题] 那么在什么情况下，l与m平行呢？
知识点 两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
对两平面平行性质定理的再理解
(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(2)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？
提示：平行．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.( )
(2)若平面α∥平面β，平面γ∥平面β，则平面α∥平面γ.( )
答案：(1)× (2)√
2．已知长方体ABCD A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选A 因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.故选A.
两平面平行性质定理的应用
[例1] 如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
[证明] 因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
应用面面平行性质定理的基本步骤
[跟踪训练]
如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在 A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在 A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，
∵A′B′ 平面C′D′DC，C′D′ 平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理可得A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，
∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
与两平面平行的性质定理有关的计算
[例2] (链接教科书第141页例5)设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，求SD的长．
[解] 根据题意作出如下图形：
∵AB，CD交于S点，∴AB与CD确定一个平面，
又∵平面α∥平面β，∴AC∥DB，∴△SAC∽△SBD，
∴＝，∵AS＝8，BS＝6，CS＝12，∴＝，
∴SD＝9.
关于平行平面分线段成比例定理
类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理．
[跟踪训练]
如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长；
(3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．
解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，
即＝.所以CD＝ cm，
所以PD＝PC＋CD＝(cm)．
(3)如图，由(1)得AC∥BD，
所以△PAC∽△PBD.
所以＝，
即＝.
所以＝，所以PD＝ cm.
所以CD＝PC＋PD＝3＋＝(cm).
线线、线面、面面平行的转化
[例3] 如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．求证：直线EE1∥平面FCC1.
[证明] 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC 平面ADD1A1，AD 平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1.
因为CC1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，DD1 平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
空间中各种平行关系相互转化的示意图
[注意] 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系．
[跟踪训练]
在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.
证明：如图，取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.因为EF∥DB，所以GI∥BD.因为GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，GI，HI 平面GHI，BD，BC 平面ABC，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.
1．如图，过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．
解析：如图所示，连接D1P，B1P，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
答案：平行
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BC，C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D.
证明：如图：
取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，FE1，EE1 平面EE1F，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
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