第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
新课程标准解读 核心素养
利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 直观想象、数学抽象
如图，观察下列实物图．
[问题] (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
知识点一 圆柱的结构特征
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边；柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
对圆柱的再理解
(1)圆柱的底面是两个半径相等的圆面，两圆面所在平面互相平行；
(2)通过轴的各个截面叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；
(3)母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高．
如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？连接AC，AC还是母线吗？
提示：AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母线．
知识点二 圆锥的结构特征
定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
圆锥具有的性质
(1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直；
(2)平行于底面的截面是圆面；
(3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB；
(4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC；
(5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等．
1．如图，在圆锥中任取不重合的两条母线，如AB，AD，它们之间有何关系？过它们的截面是怎样的图形？
提示：AB与AD相交于点A，且AB＝AD.截面ABD是过顶点A的等腰三角形．
2．以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是棱锥，这句话对吗？
提示：不对．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的．
知识点三 圆台的结构特征
定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
图示及相关概念 轴：圆锥的；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体
圆台具有的性质
(1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直；
(2)平行于底面的截面是圆面；
(3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1；
(4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1；
(5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．( )
(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列命题中，正确的是( )
A．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
解析：选A 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴，旋转一周所得的旋转体才是圆台，所以选项B不正确；圆锥仅有一个底面，所以选项C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以选项D不正确．很明显选项A正确．
知识点四 球的结构特征
定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心；半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
球能否由圆面旋转而成？
提示：能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．
(多选)下列说法正确的是( )
A．球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B．球面上任意两点的连线是球的直径
C．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球
解析：选AC A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故D错误．
知识点五 简单组合体
1．定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．
解：图①由2个四棱锥构成；图②由1个三棱柱和1个四棱柱构成．
旋转体的结构特征
[例1] (链接教科书第104页练习4题)判断下列各命题是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
[解] (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．
简单旋转体结构特征问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键；
(2)解题时要注意明确两点：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
[跟踪训练]
下列命题中正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．
A．①②③ B．②③④
C．②③⑤ D．①④⑤
解析：选C 任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，②正确，③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确．故选C.
简单组合体的结构特征
[例2] 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
[解析] 该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.
[答案] A
[母题探究]
(变条件、变设问)若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．
解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
简单组合体的识别
(1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数；
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．
[跟踪训练]
如图，AB为圆弧所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
旋转体中的有关计算
[例3] 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
[解] 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，
由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．
AC＝＝5π cm，故铁丝的最短长度为5π cm.
1．求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果．
2．与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面；
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．
[跟踪训练]
1．把地球看成一个半径为6 370 km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度(π≈3.141 6, cos 40°≈0.766 0，结果精确到1 km)．
解：作出截面图，如图所示．设A是北纬40°圆上的一点，AK是北纬40°圆的半径，O为球心，所以OK⊥AK.设北纬40°的纬线长为c km，因为∠AOB＝∠OAK＝40°，所以
c＝2π·AK
＝2π·OA·cos∠OAK
＝2π·OA·cos 40°
≈2×3.141 6×6 370×0.766 0
≈30 658.
即北纬40°的纬线长约为30 658 km.
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
解：如图，设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.
根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.
根据相似三角形的性质，得＝.解得l＝9.
所以圆台的母线长为9 cm.
用模拟法探究两点间的最短路径
——空间几何体的展开与拼接
爸爸出差前，留给小华一道题：
如图是某地区的交通网．其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的a1表示该段道路的长度(单位：千米)，请你选择一条从A到B的最短路线．
爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开．小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”！
小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目．吃过晚饭，他信步走进小树林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫．小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”，要求A、B两地的最短路线．只需把网上相当于A、B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上．
小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样．爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫做模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往孕育着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”
[问题探究]
1.如图，圆锥的轴截面是等边三角形，圆锥的底面半径为2 cm，假如点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，求它爬行的最短路程．
提示：圆锥的底面半径为2 cm，故底面圆的周长为4π cm，圆锥的轴截面是等边三角形，可知圆锥的母线长为4 cm，设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为α，根据圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得4π＝4α，解得α＝π，如图，故∠CAB′＝，蚂蚁沿表面爬行到P处的最短路程为B′P＝＝＝2(cm)．
2．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
提示：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
①若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4.
②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.
③若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
[迁移应用]
在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，则PC的长为________．
解析：正三棱柱ABC A1B1C1沿CC1侧面展开，如图所示，
设PC＝x，由题意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝，
在Rt△MAP1中，AM2＋AP＝MP，即22＋(3＋x)2＝()2，解得x＝2(负值舍去)，即PC＝2.
答案：2
1．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：选C 由球的结构特征知该几何体是球，故选C.
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个共底面的圆锥
答案：D
3.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
解：画出形成的几何体如图所示．
由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的．
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9圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
[A级 基础巩固]
1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B 根据题中图形可知，①是球，②是圆柱，③是圆锥，④不是圆台．故选B.
2．下列命题中正确的是( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆；
③圆台的两个底面可以不平行．
A．①② B．②
C．②③ D．①③
解析：选B ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行．故①③错误．
3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
解析：选B 圆绕着直径所在的直线旋转一周形成球体，矩形绕着中间轴旋转一周形成圆柱．
4．(多选)下列关于球体的说法正确的是( )
A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D．球的对称轴只有1条
解析：选BC 空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误．
5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
解析：选C 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.故选C.
6．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
解析：如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.
答案：2
7．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
答案：①②③⑤
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝.
答案：
9.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l解：轴截面如图．
被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.
∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形．
又CD∥OA，则CD＝BC.∴x＝l.
∴截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)(l10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD，设O1，O分别为AD，BC的中点，连接O1O，作AM⊥BC于点M.
由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以AM＝ ＝3 (cm)，即圆台的高为3 cm.
(2)延长BA，OO1交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，即＝，所以l＝20，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[B级 综合运用]
11．若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是( )
解析：选D 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．故选D.
12．用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为( )
A. B．3
C．12 D．36
解析：选B 根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，设圆锥的母线长为L，截去的小圆锥的母线长为l，
∵圆台的上、下底面互相平行，
∴＝＝，可得L＝4l.
∵圆台的母线长为9，可得L－l＝9，
∴L＝9，解得L＝12，
∴截去的圆锥的母线长为12－9＝3.
13.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．(填序号)
解析：由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为①；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为⑤，
综上可知截面的图形可能是①⑤.
答案：①⑤
14．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.
(1)若OA＝1，求圆M的面积；
(2)若圆M的面积为3π，求OA.
解：(1)若OA＝1，则OM＝，
故圆M的半径r＝＝ ＝，
所以圆M的面积S＝πr2＝π.
(2)因为圆M的面积为3π，
所以圆M的半径r＝，
则OA2＝＋3，
所以OA2＝3，所以OA2＝4，
所以OA＝2.
[C级 拓展探究]
15.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．
解：如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．连接MB′，在圆台的轴截面中，
∵Rt△OPA∽Rt△OQB，
∴＝，∴＝.∴OA＝20 cm.
设∠BOB′＝α，由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝OB×α，
即20π＝(20＋20)×α，
∴α＝.
∴在Rt△B′OM中，
B′M＝ ＝ ＝50(cm)．
即所求绳长的最小值为50 cm.
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