(共22张PPT)平面与平面平行的判定
[A级 基础巩固]
1．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：选B 由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行．
2．若结论“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β”是正确的，则这三点必须满足的条件是( )
A．这三点不共线
B．这三点不共线且在β的同侧
C．这三点不在β的同侧
D．这三点不共线且在β的异侧
解析：选B 首先这三点必须能确定一个平面，即要求这三点不共线；其次这三点必须在平面β的同侧，确定的平面才会和平面β平行，如果在平面β的异侧，那么确定的平面和平面β相交．
3．正方体EFGH E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A 在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，故平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.
4．(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
解析：选CD 对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选C、D.
5．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 对于①，设相交直线m，n确定一个平面γ，则有γ∥α，γ∥β，∴α∥β，故①正确；②③显然不正确．故选B.
6．六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有______对．
解析：如图所示，由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
答案：4
7．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
解析：若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.
答案：平行
8．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是________．
解析：把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确．
答案：①②③④
9.在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形．求证：平面ABC∥平面A1B1C1.
证明：∵四边形AA1B1B是平行四边形，
∴A1B1∥AB，又A1B1 平面ABC，AB 平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，同理B1C1∥平面ABC，
而A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1 平面A1B1C1，
∴平面A1B1C1∥平面ABC.
10.如图，已知在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP 平面PBC，NQ 平面PBC，∴NQ∥平面PBC.
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，且BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
[B级 综合运用]
11．已知直线l，m，平面α，β，下列叙述正确的是( )
A．l∥β，l α α∥β
B．l∥β，m∥β，l α，m α α∥β
C．l∥m，l α，m β α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
解析：选D 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，直线AB∥平面DC1，直线AB 平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误．取BB1的中点E，CC1的中点F，连接EF，则EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF 平面BC1，B1C1 平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误．直线AD∥B1C1，AD 平面AC，B1C1 平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误．选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．
12．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
解析：选B ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．
13．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α∥β，γ∥β，α∥γ；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中正确结论的编号为________．(请写出所有正确结论的编号)
解析：对于①，由面面平行的传递性可知①正确；对于②，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以②错；对于③，若两个平面平行，其中一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行，所以③正确；对于④，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，l∥γ，所以l∥m，同理l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以④正确．
答案：①③④
14.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.求证：平面BCE∥平面ADF.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
又BC 平面ADF，AD 平面ADF，
∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE 平面ADF，AF 平面ADF，
∴BE∥平面ADF.
又BC 平面BCE，BE 平面BCE，BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF.
[C级 拓展探究]
15．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
所以QB∥PA.
而QB 平面PAO，PA 平面PAO，
所以QB∥平面PAO.
如图，连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，
所以PO为△DBD1的中位线，
所以D1B∥PO.
而D1B 平面PAO，PO 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.
又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
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5第一课时 平面与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行 直观想象
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．
[问题] (1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
语言
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件
(1)平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝P；
(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )
(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．( )
答案：(1)× (2)√
2．在正方体中，相互平行的面不会是( )
A．前后相对侧面 B．上下相对底面
C．左右相对侧面 D．相邻的侧面
解析：选D 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
平面与平面平行判定定理的理解
[例1] 已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
[解析] 选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行．故选D.
[答案] D
1．在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
2．借助于常见几何体(如正方体)进行分析．
[跟踪训练]
设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是( )
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：选C 要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
平面与平面平行的证明
[例2] (链接教科书第140页例4)如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
[证明] (1)因为B1B綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C，
所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.
如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，又因为GF＝AD，
所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，
所以B1E∥DF，
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.
[母题探究]
(变条件)把本例(2)的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD
解：当F满足CF＝CC1时，两平面平行，下面给出证明：
如图，在D1D上取点M，且DM＝DD1，
连接AM，FM，则AE綉D1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形，所以D1E∥AM.
同理，FM綉CD，又因为AB綉CD，所以FM綉AB，
从而四边形FMAB是平行四边形，所以AM∥BF，
即有D1E∥BF.
又BF 平面FBD，D1E 平面FBD，
所以D1E∥平面FBD.
又B1B綉D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD，
又BD 平面FBD，B1D1 平面FBD，从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
[跟踪训练]
1.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明：(1)如图，连接B1D1.
∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
(2)由题意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，∴MN∥平面EFDB，
连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，∴MF綉AD.
∴四边形ADFM是平行四边形．∴AM∥DF.
∵AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
2．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG.
1．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 由图①和图②可知，α与β平行或相交．
2.如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.
证明：∵D1Q綉CD，AB綉CD，
∴D1Q綉AB，
∴四边形D1QBA为平行四边形，∴D1A∥QB.
∵Q，P分别为D1C1，C1C的中点，∴QP∥D1C.
∵D1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
∴平面AD1C∥平面BPQ.
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