(共18张PPT)第二课时 直线与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系 直观想象
当直线l∥平面α时，l与α没有公共点．此时，若m α，则l∩m＝ .这就是说，l与m的位置关系是平行或异面．
[问题] 那么在什么情况下l与m平行呢？
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
对线面平行性质定理的再理解
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a β. 三个条件缺一不可．
(2)定理的作用：
①线面平行 线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l∥平面α，且b α，则l∥b.( )
(2)若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( )
答案：(1)× (2)×
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
解析：选D 由题意得b∥α和b与α相交都有可能．故选D.
3.如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
解析：选B ∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.
直线与平面平行性质的应用
[例1] (链接教科书第138页例3)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．
求证：截面 MNPQ 是平行四边形．
[证明] 因为AB∥平面 MNPQ，
平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB 平面 ABC，
所以由线面平行的性质定理，知 AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.
同理可得 MQ∥NP.
所以截面四边形 MNPQ 为平行四边形．
[母题探究]
(变条件，变设问)若将本例变为：如图所示，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．
证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，
因为AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，且BC 平面BCFE，所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
1．利用线面平行性质定理解题的步骤
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．
[跟踪训练]
过正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.
证明：如图所示， 因为CC1∥BB1，CC1 平面BEE1B1，BB1 平面BEE1B1，
所以CC1∥平面BEE1B1，
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
所以CC1∥EE1.
由于CC1∥BB1，所以BB1∥EE1.
与线面平行性质定理有关的计算问题
[例2] 如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
[解] 如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
∵SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，
∴SA∥FG，
∴＝，
∵AE∥BC，
∴△GEA∽△GBC，
∴＝＝，
∴＝＝，即SF＝SC，
∴λ＝.
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；
(3)利用所得关系计算求值．
[跟踪训练]
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度．
解：∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点．
∴EF＝AC＝×2＝.
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
2.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选A 由长方体性质，知EF∥AB.
∵AB 平面ABCD，EF 平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH.
又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.
3.如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.
证明：因为EH∥FG，EH 平面BCD，FG 平面BCD，
所以EH∥平面BCD.
又因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以EH∥BD.
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4直线与平面平行的性质
[A级 基础巩固]
1．已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
解析：选C 过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．共面
解析：选AB ∵AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，∴CD∥平面α，∴直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选A、B.
3.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：选B 因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B.
4.如图，四棱锥S ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
解析：选C 由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
即AB∥平面DCFE，
∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.
∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.
∴四边形DEFC的周长为3＋2.
5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析：选B 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF 平面BCD，BD 平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，
∴HG∥BD且HG＝BD，∴EF∥HG且EF≠HG.故选B.
6．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：
①a∥γ，b β；②a∥γ，b∥β；③a γ，b∥β.
命题“α∩β＝a，b γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)．
解析：①中a∥γ，b β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a γ，b∥β，b γ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b.
答案：①或③
7.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．
解析：因为AB∥平面α，AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以点N是BC的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
答案：5
8.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
解析：∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，MN 平面PMN，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝a.
答案：a
9.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
求证：(1)l∥BC；
(2)MN∥平面PAD.
证明：(1)∵BC∥AD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
又平面PBC∩平面PAD＝l，∴l∥BC.
(2)如图，取PD的中点E，连接AE，NE，则NE∥CD，且NE＝CD，又AM∥CD，且AM＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM.
∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.
又∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
10.如图，已知异面直线AB，CD都与平面MNPQ平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
证明：∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，
∴AB∥MN.
又平面ABD∩平面MNPQ＝PQ，AB 平面ABD，
∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ是平行四边形．
[B级 综合运用]
11．(多选)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D．四边形EFGH是平行四边形或梯形
解析：选CD 由BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则
AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
且EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形或梯形．
12.如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A. B.
C．1 D．
解析：选A 如图，连接AD1，AB1，
∵PQ∥平面AA1B1B，
平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ 平面AB1D1，
∴PQ∥AB1，∴PQ＝AB1＝ ＝.故选A.
13.如图，已知三棱柱ABC A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C.
(1)若E是BC的中点，则m的值为________；
(2)若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为________．
解析：(1)如图，设G是CB1上一点，连接DG，GE.
因为AE∥平面DB1C，
所以AE∥DG.
又AD∥平面CBB1C1，
所以AD∥EG，
则四边形DAEG是平行四边形．
故DA＝GE，
所以G是CB1的中点．
故AD＝DA1，即＝1，即m＝1.
(2)如图，设H是CB1上一点，连接DH，HE.
因为AE∥平面DB1C，
所以AE∥DH，又AD∥BB1，
所以AD∥平面CBB1C1，
所以AD∥EH，故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，
因为EH∥BB1，所以＝＝，
所以＝＝，则＝2，即m＝2.
答案：(1)1 (2)2
14.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
解：直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
[C级 拓展探究]
15.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.
GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
(2)同(1)可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，∴y＝6，且0∴四边形EFGH的周长为l＝2(x＋y)＝2＝12－x，
∵8<12－x<12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．
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