(共28张PPT)
B空间点、直线、平面之间的位置关系
[A级 基础巩固]
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
解析：选D 直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选A 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF 平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．故选A.
3．在长方体ABCD A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B 如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.故选B.
4．若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b α D．以上三种情况都有可能
解析：选D 若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得，b∥a，或b α，或b与α相交．
5．(多选)以下结论中，正确的是( )
A．过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行
B．过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行
C．过直线l外一点P，有且仅有一条直线与l平行
D．过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l平行
解析：选BC 如图①所示，过点P有无数条直线都有α平行，这无数条直线都在平面β内，过点P有且只有一个平面与α平行，故A错，B正确；
如图②所示，过点P只有一条直线与l平行，但有无数个平面与l平行，故C正确，D错．
6．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
解析：题图①中，GH∥MN.
图②中，G，H，N三点共面，但M∈/平面GHN，因此直线GH与MN异面．
图③中，连接GM(图略)，GM∥HN，因此，GH与MN共面．
图④中，G，M，N三点共面，但H∈/平面GMN，因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
答案：②④
7．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．
答案：4 6
8．在四棱锥P ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
答案：8
9．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a α，b β，且a，b γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
10．如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．
证明：在正方体ABCD A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，
则延长CE与BB′必相交于一点H，
所以H∈EC，H∈B′B，
又BB′ 平面ABB′A′，CE 平面CDFE，
所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，
故平面ABB′A′与平面CDFE相交．
[B级 综合运用]
11．(多选)以下四个命题中正确的是( )
A．三个平面最多可以把空间分成八部分
B．若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C．若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面
解析：选AC A正确；B中当α与β相交时，a与b不一定相交，故B不正确；C正确；D的反例：正方体的四条侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故选A、C.
12．(多选)一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是( )
A．AB与EF是异面直线
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
解析：选AC 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB与EF是异面直线，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN与CD是异面直线，故A、C正确．
13．(多选)已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
A．若a∥b，b α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
B．若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线
C．若α∥β，a α，则a∥β
D．若α∩β＝b，a α，则a，b一定相交
解析：选AC A中，a∥b，b α，则a∥α或a α，所以不管a在平面内还是平面外，结论都成立，故A正确；
B中，直线a与b没有交点，所以a与b可能异面，也可能平行，故B错误；
C中，直线a与平面β没有公共点，所以α∥β，故C正确；
D中，直线a与平面β有可能平行，所以a，b可能相交，也可能平行，故D错误．
14.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)不是异面直线．
理由：因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又A1A綉D1D，而D1D綉C1C，
所以A1A綉C1C.
所以四边形A1ACC1为平行四边形．所以A1C1∥AC，得到MN∥AC.所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．理由如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC 平面CC1D1.
而BC⊥平面CC1D1，BC 平面CC1D1，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
[C级 拓展探究]
15．如图，ABCD A1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图(1)，图(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
解：在图①中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面．∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，EF 平面AEF，NB 平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线．如图①所示．
在图②中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内．又∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共
点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线．如图②所示．
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5空间点、直线、平面之间的位置关系
新课程标准解读 核心素养
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 逻辑推理、直观想象
在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行．
[问题] 你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线；
(2)异面直线的画法．
2．空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交直线 在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线 在同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线．
1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
答案：C
2．在三棱锥S ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
答案：C
3．平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是________．
答案：相交或异面
知识点二 直线与平面、平面与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
2．两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
1．直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？
提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为直线a在平面α外．
2.观察如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？
提示：直线A1B在平面ABB1A1内，与平面CDD1C1平行，与其余四个面相交．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( )
(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．直线l与平面α有两个公共点，则( )
A．l∈α B．l∥α
C．l与α相交 D．l α
答案：D
3．正方体的六个面中互相平行的平面有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：选C 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对．
直线与直线位置关系的判断
[例1] (链接教科书第130页例2)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
[解析] (1)在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC.
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线；
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交；
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
[跟踪训练]
已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．若a α，b β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
解析：选D 若a α，b β，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；若a与b异面，b与c异面，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故B错误；若a，b不同在平面α内，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；由异面直线的定义，知D正确.
空间直线与平面位置关系的判断
[例2] 给出下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，b 平面α，则a∥α；
③若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线；
④若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α.
其中说法正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b 平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误．
对于③，比如在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行，故③说法正确．
对于④，当a α时，α内也存在无数条直线与直线a平行，故④说法错误．
[答案] B
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法；
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
[跟踪训练]
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．
解：B1C 平面BCC1B1，
B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．
BD1与6个面都相交.
平面与平面位置关系的判断
[例3] 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
[解析] 如图所示，a α，b β，a∥b.
由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．
[答案] C
[母题探究]
1．(变条件)本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a α，b β，a，b异面．
由图知这两个平面可能平行，也可能相交．
2．(变条件)若将条件改为：平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？
解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行，
由图知，平面α与平面β平行或相交．
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.
[跟踪训练]
如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？
解：∵几何体ABC A1B1C1为三棱柱，
∴平面ABC与平面A1B1C1平行．
∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
∴平面ABC与平面ABB1A1相交．
同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
解析：选D 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D.
2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
解析：选D 若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．
3.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，与AA1异面的棱是( )
A．AB B．BB1
C．DD1 D．B1C1
解析：选D AA1∥BB1，AA1∥DD1，AA1∩AB＝A，AA1与B1C1是异面直线．
4.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
解析：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
答案：(1)平行 (2)相交
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