平面
新课程标准解读 核心素养
1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念 数学抽象，直观想象
2.了解基本事实和确定平面的推论 逻辑推理
在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整．
[问题] 你知道如此做的原理吗？
知识点一 平面的画法与表示
1．平面的画法
画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向
图示
2．平面的表示方法
(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ；
(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD；
(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)书桌面是平面．( )
(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( )
(3)一个平面的面积是16 cm2.( )
(4)所有的平面都是无限延展的．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN
B．平面MP
C．平面α
D．平面MNPQ
解析：选A 表示平面不能用一条边的两个端点表示，但可以表示为平面MP. 故选A.
知识点二 点、直线、平面之间的基本关系的符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 Al
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 Aα
直线l在平面α内 l α
直线l在平面α外 l α
平面α，β相交于l α∩β＝l
如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．
答案：∈ BC
知识点三 平面的基本事实及推论
1．与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2．基本事实1、2的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
1．如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？
提示：这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现．
2．两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？
提示：不能．要么没有公共点，要么有无数个公共点．
3．如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？
提示：这些公共点落在同一条直线上．
立体几何三种语言的相互转化
[例1] 用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∈/AB，如图．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
[提醒] 根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[跟踪训练]
根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系：
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
解：(1)点P∈直线AB；(2)点C 直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1 平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB 平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
点、线共面问题
[例2] 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．
[证明] 法一(辅助平面法)：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内．
因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β.
因为C∈c，c β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内．
由推论1，可得平面α和平面β重合，则c α.
所以a，b，c，l共面．
法二(纳入平面法)：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．
同理可证c在a，l确定的平面内．
因为过a与l只能确定一个平面，
所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面．
证明点、线共面的方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合；
(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内．
[跟踪训练]
已知A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图．
求证：直线AD，BD，CD共面．
证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．
因为D l，所以l与D可以确定平面α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α.
同理，BD α，CD α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面.
点共线、线共点问题
[例3] 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
[证明] 如图，连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，
F为AA1的中点，所以EF綉A1B.
又因为A1B綉D1C，所以EF綉D1C，
所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
[母题探究]
(变条件、变设问)若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．所以点D，A，M三点共线．
1．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上；
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．
[跟踪训练]
1．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
证明：若EF，GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF 平面ABD，GH 平面CBD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
又因为平面ABD∩平面CBD＝BD，
由基本事实3可得P∈BD.
2.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线.
平面的交线问题
[例4] 如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱CC1上一点．试说明D1，A，E 3点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线．
[解] 因为A∈面D1AE，A∈面ABCD，
所以面D1AE∩面ABCD≠ ，即面D1AE与面ABCD相交．
延长D1E与DC，设它们相交于F，连接AF，如图所示，则
F∈直线D1E，直线D1E 面D1AE，
F∈直线DC，直线DC 面ABCD，
则F∈面D1AE∩面ABCD，从而AF即为面D1AE与面ABCD的交线．
找两个平面交线的突破口
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此找两个平面的交线的突破口就是找这两个平面的两个公共点．
[跟踪训练]
如图，E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
解：如图，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.
因为M∈D1F，M∈DA，D1F 平面BED1F，DA 平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，
连接MB，则平面BED1F∩平面ABCD＝MB.
故直线MB即为所求两平面的交线．
1．经过空间任意三点作平面( )
A．只有一个 B．可作两个
C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个
解析：选D 当三点在一条直线上时，过这三点能作无数个平面；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．故选D.
2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为( )
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
解析：选B A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
3．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在________．
解析：设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.
答案：α与β的交线上
4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．
解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．
答案：3
5．若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线．
解：∵若α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图．
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9平面
[A级 基础巩固]
1．下列有关平面的说法正确的是( )
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
解析：选D 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确．
2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
解析：选A B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．
3．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A、B、C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．故选D.
4．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
解析：选ABD 对于A，由基本事实2可知，a β，A正确；对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN α，MN β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.故C错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合．故选A、B、D.
5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
解析：选D 当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
6．如图：(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________．
答案：(1)A1B1 (2)AC
7．平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
解析：(1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；(2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．
答案：1或4
8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
解析：如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB β，∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
答案：共线
9.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)由点A，O，C可以确定一个平面；
(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．
(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
10．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：(1)如图所示，连接B1D1，则EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C.
所以R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线．
[B级 综合运用]
11．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选A 由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，可得P1，P2，P3，P4在同一个平面内，故充分性成立．由过两条平行直线有且只有一个平面可得，当P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2时，P1，P2，P3，P4在同一个平面内，但P1，P2，P3，P4中无三点共线，故必要性不成立．故选A.
12．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选C 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．设直线C1M与CD相交于点E，直线C1N与CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN即为所求截面图形，如图所示．
13．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
其中真命题的序号是________．
解析：若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“ ”表示，即l α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．
答案：①③
14.如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l的位置；
(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．
解：(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．
(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，
∴AD＝A1E＝A1D1＝a.
∵A1P∥D1N，且D1N＝a，
∴A1P＝D1N＝a，
于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.
[C级 拓展探究]
15．如图所示，今有一正方体木料ABCD A1B1C1D1，其中M，N分别是AB，CB的中点，要过D1，M，N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？
解：作法如下：
(1)连接MN并延长交DC的延长线于F，连接D1F交CC1于Q，连接QN；
(2)延长NM交DA的延长线于E，连接D1E交AA1于P，连接MP；
(3)依次在正方体各个面上画线D1P，PM，MN，NQ，QD1，即为木工师傅所要画的线，如图所示．
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