圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[A级 基础巩固]
1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是( )
A. B.
C. D.2πC2
解析：选C 由2πR＝C，得R＝，所以S球＝4πR2＝.故选C.
2．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选B 因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.
3．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64π cm3 D．108π cm3
解析：选B 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝ ＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
4．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为( )
A．8π B．16π
C．24π D．32π
解析：选A 由圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得SA2＝8，解得SA＝4.由SA与圆锥底面所成角为30°，可得圆锥的底面半径为2，圆锥的高为2.
故该圆锥的体积为V＝×π×(2)2×2＝8π，故选A.
5．圆台上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为5，则圆台的体积为( )
A．40π B．52π
C．50π D．π
解析：选B 作出圆台的轴截面如图所示，上底面半径MD＝2，下底面半径NC＝6，过D作DE垂直NC，垂足为E，则EC＝6－2＝4，CD＝5，故DE＝3.即圆台的高为3，所以圆台的体积为V＝×3×(π×22＋π×62＋)＝52π.
6．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．
解析：由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.
答案：96＋6π
7．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为________．
解析：设圆柱的高为h，则3×R3＝πR2·h，解得h＝4R.
答案：4R
8．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析：设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
答案：
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，
该组合体的体积
V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．
解：如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
∴该球的表面积为4πr2＝4π＝π.
[B级 综合运用]
11．如图所示的粮仓可近似看成一个圆锥和一个圆台的组合体，且圆锥的底面与圆台的较大底面重合．已知圆台的较小底面的半径为1，圆锥与圆台的高分别为－1和3，则此组合体的外接球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．28π
解析：选B 设该组合体的外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面的圆心为O1，则OO＋12＝R2，而OO1＝－1＋3－R＝＋2－R，故R2＝1＋(＋2－R)2，所以R＝，所以该组合体的外接球的表面积S＝4πR2＝20π.
12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为( )
A.＋ B．
C.＋ D．＋
解析：选D 由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为 ＝，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为，所以球的最高点与“底座”底面的距离为＋1＋＝＋.故选D.
13．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有如下问题：“今有委菽依垣，下周三丈，高七尺．问：积及为菽各几何？”其意思为：“现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆多少斛？”已知圆周率约为3，1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.5立方尺，估算出堆放的大豆为________斛．
解析：因为半圆锥的底面半圆的弧长为30尺，所以可得底面圆的半径r＝≈10(尺)．又半圆锥的高为7尺，所以半圆锥的体积V≈×3×100×7＝350(立方尺)，约为140斛，所以堆放的大豆约为140斛．
答案：140
14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积．
解：如图所示，圆柱的高O1O＝PO＝×＝×＝1，圆柱的底面半径r＝AO＝.所以圆柱的体积V＝πr2·O1O＝π××1＝.
[C级 拓展探究]
15．已知Rt△ABC中，C＝90°，分别以AC，BC，AB所在直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V1，V2，V，试探究V1，V2，V之间的关系，并给出证明．
解：＝eq \f(1,V)＋eq \f(1,V).
证明：如图，设AC＝b，BC＝a，作CH⊥AB于H，
则AB＝ .
由射影定理，得AH＝，BH＝，CH2＝AH·BH＝.
三个几何体分别是两个圆锥和组合体(有公共底面的圆锥组合体)，
依题意，得V1＝πS1h1＝πa2b，
V2＝S2h2＝πb2a，
V＝π·CH2·AB＝π··
＝π·，
所以eq \f(1,V)＋eq \f(1,V)＝＝.
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5圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体．
这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体．
[问题] 你会求上述几何体的表面积及体积吗？
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积和体积
圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)；V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)
圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)；V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)
圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长)；V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)
圆柱、圆锥、圆台的关系
(1)侧面积公式间的关系
(2)体积公式间的关系
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长．( )
(2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形．( )
答案：(1)√ (2)×
2．若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C V＝Sh＝×π×3×1＝π.
3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A．72 B．42π
C．67π D．72π
解析：选C S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.故选C.
4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.
答案：6π
知识点二 球的表面积和体积公式
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．球的体积V＝πR3．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( )
(2)球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( )
答案：(1)× (2)×
2．直径为1的球的体积是( )
A．1 B.
C. D．π
解析：选B R＝，故V＝πR3＝×π×＝.
3．表面积为8π的球的半径是________．
解析：S＝4πR2＝8π，故R＝.
答案：
圆柱、圆锥、圆台的表面积
[例1] 如图，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝16，AD＝4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
[解] 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4，下底半径是16，母线DC＝＝13.故该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π.
[母题探究]
(变设问)在本例条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
解：以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．
其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD＝4，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加．
[跟踪训练]
1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________．
解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
答案：7
2.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解：(1)S圆柱侧＝2πrx＝2πx＝4πx－x2，x∈(0，6)．
(2)由(1)知当x＝－＝3时，这个二次函数有最大值6π，
∴当圆柱的高为3 cm时，它的侧面积最大为6π cm2.
圆柱、圆锥、圆台的体积
[例2] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A. B.
C．64π D．128π
(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π
C．20π D．10π
[解析] (1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r＝ ，即l＝r，
由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，
∴r＝4. ∴l＝4，高h＝ ＝4.
∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A.
(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
[答案] (1)A (2)D
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．
[跟踪训练]
1．若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )
A．1 B．1∶2
C.∶2 D．3∶4
解析：选D 设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.
2．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( )
A.π B．2
C.π D．π
解析：选D S1＝π，S2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
∴l＝2，∴h＝.
∴V＝π(1＋4＋2)×＝π.故选D.
球的表面积和体积
[例3] △ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB＝4，AC＝2，BC＝6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积．
[解] 因为AB＝4，AC＝2，BC＝6，
所以AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形．
所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆．
由已知球心O与截面圆心的距离为4，
所以球的半径R＝＝5.所以球的表面积S＝4πR2＝100π，体积V＝πR3＝.
因为球的表面积与体积都是球半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．
[跟踪训练]
若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为________．
解析：设两个球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得即
整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π(43－23)＝π.
答案：π
与球有关的切、接问题
[例4] (链接教科书第119页例4)(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________；
(2)在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．
(1)[解析] 由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为π.
[答案] π
(2)[解] 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝.
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
即a2＋＝R2，∴R＝a.
从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
球的切、接问题处理策略及常用结论
(1)在处理与球有关的切接问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等；
(2)几个常用结论
①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；
②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；
③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；
④球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝S底h＝S表R，求球的半径R.
[跟踪训练]
已知四面体S ABC的各棱长均为，求该四面体内切球及外接球的体积．
解：如图，在四面体S ABC中，取底面△ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1⊥O1A.
∵AO1＝××＝1，
∴SO1＝，∴四面体的体积为V＝××()2×＝.
设内切球球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，
∴VS ABC＝VO SAB＋VO SBC＋VO SAC＋VO ABC
＝S表·r＝×4××()2×r＝r＝，
∴r＝，
∴内切球的体积为V内＝r3＝×＝.
设外接球的半径为R，则R＝OS＝SO1－OO1＝SO1－r＝－＝，
∴外接球的体积为V外＝πR3＝×＝.
1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为( )
A.π B.π
C.π D．π
解析：选D 因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D.
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：选C 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．
解析：设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
答案：
4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为________．
解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.又∠PCB＝90°，∴CB＝PC＝r，PB＝2r，∴圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2.
答案：3∶2
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