棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[A级 基础巩固]
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
解析：选B 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4. ∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.
2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A．6 B.
C．2 D．2
解析：选B 由底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2.又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )
A. B．2
C. D．3
解析：选B 设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者的体积之比为＝＝＝2.
4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”即四棱锥B A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC A1B1C1的表面积为( )
A.＋1 B.＋1
C. D.
解析：选C V四棱锥B A1ACC1＝AC·AA1·BC＝×AC·BC·AA1＝V三棱柱ABC A1B1C1，V三棱柱ABC A1B1C1＝AC·BC·AA1＝AC·BC≤(AC2＋BC2)＝AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时取等号，即当AC＝BC＝时，V三棱柱ABC A1B1C1取得最大值，此时四棱锥B A1ACC1的体积最大．则此时三棱柱ABC A1B1C1的表面积为2×××＋×1＝.故选C.
5．鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．图①是一个鲁班锁玩具，图②是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为( )
A．8(6＋6＋) B．6(8＋8＋)
C．8(6＋6＋) D．6(8＋8＋)
解析：选A 由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1＋)的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该鲁班锁玩具的表面积为6×[4×(1＋)2－4××× ]＋8××2×＝8(6＋6＋)．故选A.
6．如图，三棱柱ABC A′B′C′的体积为1，则四棱锥C AA′B′B的体积是________．
解析：∵VC A′B′C′＝VABC A′B′C′＝，∴VC AA′B′B＝1－＝.
答案：
7．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．
解析：该几何体的体积V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138.
答案：90 138
8．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，则它的深度为________cm.
解析：设油槽的上、下底面积分别为S′，S.由V＝(S＋＋S′)h，得h＝＝＝75(cm)．
答案：75
9.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2>V1.
(1)求V1，V2以及V1∶V2；
(2)求点A到平面A1BD的距离d.
解：(1)截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1 ABD，
其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝a2.
底面ABD上的高为h＝AA1＝a.
所以其体积V1＝Sh＝×a2×a＝a3.
正方体的体积V＝a3，
所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3.
所以V1∶V2＝1∶5.
(2)三棱锥A1 ABD与三棱锥A A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a，
如图，取BD的中点H，连接A1H，
则A1H⊥BD，BH＝HD＝BD＝a，
所以A1H＝＝＝a.
其面积S2＝BD·A1H＝×a×a＝a2.
因为VA1 ABD＝VA A1BD，即a3＝S2·d，
所以a3＝×a2×d，
解得d＝a，即点A到平面A1BD的距离为a.
10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
解：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，
则O1O＝12.
连接OE，O1E1，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×42＋32＝32×17，所以E1E＝3.
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3＝108.
[B级 综合运用]
11．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. B．2
C. D.
解析：选D 设正三棱柱的底面积为S，则VABC A1B1C1＝3S.∵E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，∴＝，即S△AFE＝S，∴S四边形BCFE＝S，∴VBCFE B1C1F1E1＝S×3＝S，∴图甲中水面的高度为.故选D.
12．(多选)如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列判断，正确的是( )
A．直三棱柱侧面积是4＋2
B．直三棱柱体积是
C．三棱锥E AA1O的体积为定值
D．AE＋EC1的最小值为2
解析：选ACD 在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；如图，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E AA1O的高为定值，S△AA1O＝×2＝，所以VE AA1O＝××＝，故C正确；将四边形BCC1B1沿BB1翻折，使四边形ABB1A1与四边形BCC1B1位于同一平面内，连接AC1与BB1相交于点E，此时AE＋EC1最小，即AE＋EC1＝AC1＝eq \r(AA＋（A1B1＋B1C1）2)＝2，故D正确．
13．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积为________．
解析：如图所示，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，BD1＝9.
故有a2＋52＝152，b2＋52＝92，
所以a2＝200，b2＝56.
因为底面是菱形，
所以AB2＝＋＝＝＝64，
即AB＝8.
所以该直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160，
表面积为160＋2××＝160＋40.
答案：160＋40
14．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
解：如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱锥F EBC＝V三棱锥C EFB
＝V三棱锥C ABE＝V三棱锥E ABC＝×V四棱锥E ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E ABCD＋V三棱锥F EBC＝16＋4＝20.
[C级 拓展探究]
15．一个正三棱锥P ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1 A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？
解：设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则＝，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝x，
于是OO1＝h－PO1＝h－x＝h.
所以所求三棱柱的侧面积为S＝3x·h＝(a－x)x＝.当x＝时，S有最大值为ah，此时O1为PO的中点，即A1，B1，C1分别是三条棱的中点．
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6(共25张PPT)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体．金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石．如图就是一块正八面体的钻石．
[问题] 如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？
提示：都相等．
正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为________，表面积为________．
解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；又S底面面积＝×1×＝，所以它的表面积为6＋.
答案：6 6＋
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh；
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝Sh；
棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱锥的体积等于底面面积与高之积．( )
(2)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差．( )
答案：(1)× (2)√
2．若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
解析：选B V长方体＝3×4×5＝60(cm3)．
3．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选B 正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4.
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
[例1] 如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1.当PO1＝2 m，PA1＝4 m时，求帐篷的表面积．
[解] 如图，连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m，
所以A1B1＝A1O1＝＝2(m)，
取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1.
所以A1Q＝O1A1＝，PQ＝eq \r(PA－A1Q2)＝(m)，
设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，
所以S1＝6×A1B1·PQ＝6(m2)，
S2＝6A1B1·OO1＝48(m2)，
所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝(6＋48)(m2)．
[母题探究]
(变设问)若把本例条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？
解：若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积．底面是边长为2的正六边形，它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6××(2)2＝18.故容器的表面积为6＋48＋18＝(6＋66)(m2)．
求解此类问题时，首先要注意题目要求侧面积还是表面积，其次观察几何体形状，是已知的棱柱、棱锥、棱台，还是由这些几何体形成的组合体，再利用公式准确计算相关的面积，从而求解．
[跟踪训练]
已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
解：如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
故B1F＝ ＝2，
所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，
所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
棱柱、棱锥、棱台的体积
[例2] (链接教科书第115页例2)(1)如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A DED1的体积为________；
第(1)题图 第(2)题图
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________．
[解析] (1)VA DED1＝VE DD1A＝××1×1×1＝.
(2)V正方体＝23＝8，VS ABCD＝×22×(5－2)＝4.
V＝V正方体＋VS ABCD＝12.
[答案] (1) (2)12
求几何体体积的常用方法
[跟踪训练]
1．一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________cm3，表面积为________cm2.
解析：如图，∵正四棱锥P ABCD的底面边长为3 cm，
∴S正方形ABCD＝18 cm2.
连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝AC＝×3×＝3(cm)，
又棱长PC＝5 cm，∴OP＝ ＝4(cm)，
∴VP ABCD＝×18×4＝24(cm3)．
取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝＝＝(cm)．
S侧＝4××3×＝6(cm2)，S表＝(18＋6)(cm2)．
答案：24 18＋6
2.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，截下一个棱锥C A1DD1，求棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
解：设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，
所以VABCD A1B1C1D1＝VADD1A1 BCC1B1＝Sh.
而棱锥C A1DD1的底面积为S，高为h，
故三棱锥C A1DD1的体积为
VC A1DD1＝×S×h＝Sh，
余下部分体积为Sh－Sh＝Sh.所以棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
1．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为( )
A. m3 B. m3
C．1 m3 D. m3
解析：选B 设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积为V＝××6×＝(m3)．故选B.
2．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是( )
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：选D 设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，由体对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2，4，6.所以V长方体＝2×4×6＝48.
3．正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为( )
A．3a2 B．2a2
C.a2 D．4a2
解析：选C S＝4××a×a＝a2.
4.一个正方体木块ABCD A1B1C1D1的体积为512 cm3，如图，M为棱CB的中点，N为棱BB1的中点，过A，M，N三点的平面切下一个三棱锥B AMN，则三棱锥B AMN的表面积是________cm2.
解析：如图，连接MC1和NC1.易知△AMN≌△C1MN，△ABM≌△C1CM，△ABN≌△C1B1N，△MNB≌△MNB.
因此，三棱锥B AMN的表面积等于正方形BB1C1C的面积，即()2＝64(cm2)．
答案：64
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