立体图形的直观图
[A级 基础巩固]
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.故选D.
2．(多选)利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选AB 水平放置的n边形的直观图还是n边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误．
3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是( )
解析：选A 根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A.
4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D．4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，知在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
6．关于斜二测画法，下列说法不正确的是________．
①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变；
②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°.
答案：③
7.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：画出直观图(图略)，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝.
答案：
8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
9．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．
解：(1)画x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取点H，使O′H＝3，作HA′∥y′轴，并取A′H＝1(A′在x′轴下方)，在y′轴正半轴上取点C′，使O′C′＝1，在x′轴正半轴上取点B′，使O′B′＝4，顺次连接O′，A′，B′，C′，如图①所示．
(3)擦去作为辅助线的坐标轴、线段A′H、点H，便得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′，如图②所示．
10．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．
解：(1)如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
[B级 综合运用]
11．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A.＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：选D 法一：如图(1)所示，由直观图是一个底角为45°的等腰梯形O′D′C′B′可知，原图形是直角梯形(如图(2)所示)，根据题意，易知原图形上底长为1，下底长为1＋，高为2，故这个平面图形的面积是×(1＋1＋)×2＝2＋.
法二：直观图是上底长为1，高为，下底长为1＋2×的梯形，故原平面图形的面积为×××＝2＋.
12.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中( )
A．AB与AC相等
B．AD的长度大于AC的长度
C．AB的长度大于AD的长度
D．BC的长度大于AD的长度
解析：选AC 因为A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选A、C.
13.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.
答案：4
14．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形，如图所示．
易知四边形ABCD为平行四边形．
∵AD＝2，AC＝，
∴S ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2.
[C级 拓展探究]
15．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．
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5(共32张PPT)
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴
相交于点O.画直观图时
成对应的
轴与y轴,两轴相交于点
使∠x′O
知图形
轴或y轴的线段,在
线
观图中分别画成平
轴或y′轴的线段
已知图形中平
轴的线段,在直观图
取长度
保持原长度不变
y轴的线段,在直观
图中长度为原来的一半
y
D
D
BO)
E
()C′x
图①
图②立体图形的直观图
新课程标准解读 核心素养
能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图 直观想象、数学抽象
图中的国家游泳中心(又称“水立方”)可以抽象成一个几何体——长方体．
[问题] 你能画出一个长方体吗？
知识点一 直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
直观图与立体图形一定相同吗？
提示：不一定相同．空间几何体的直观图是在平行投影下画出的平面图形．
知识点二 斜二测画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
对斜二测画法的再理解
(1)“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，即y′轴是斜的，反映投影线是斜的；
(2)“二测”：平行于x轴、z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直．( )
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行．( )
(3)正方形的直观图为平行四边形．( )
(4)梯形的直观图不是梯形．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
解析：选C 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴，y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.故选C.
3．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．故选A.
知识点三 空间几何体直观图的画法
1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
2．画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．
3．画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
4．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
空间几何体的直观图中实虚线表示什么意思？
提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示看不见(被遮挡)的部分．
平面图形的直观图的画法
[例1] (链接教科书第108页例1)画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
[解] 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
[跟踪训练]
用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
空间几何体的直观图的画法
[例2] (链接教科书第109页例2)画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[解] 画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直；
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变；
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半；
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
[跟踪训练]
用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．以O′为中心在x′O′y′平面内画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.
直观图的还原与计算
[例3] (1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B.
C．2 D．4
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
(1)[解析] 由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故选C.
[答案] C
(2)[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
∴面积为S＝×2＝5.
[母题探究]
1．(变条件)本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形中，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.
解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，
所以BE＝.
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为
S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.
2．(变条件、变设问)本例(1)若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？
解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为a××＝a，
所以S△A′B′C′＝×a×a＝a2.
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
[跟踪训练]
如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________(填四边形的形状)．
解析：如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6 cm，
OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
∴OC＝
＝＝6(cm)，
∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，
故四边形OABC是菱形．
答案：菱形
1．如图，已知等腰三角形ABC，则下图所示的四个图形中，可能是△ABC的直观图的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：选D 当∠x′O′y′＝135°时，其直观图是③；
当∠x′O′y′＝45°时，其直观图是④.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案：10
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