(共31张PPT)复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学运算
设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z.
[问题] (1)写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；
(2)记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系．
知识点一 复数的三角形式
1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos__θ＋isin__θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π.
辐角和辐角主值的区别与联系
区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．
联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？
提示：辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数的辐角是唯一的．( )
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．( )
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．( )
(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
知识点二 复数三角形式乘、除运算
1．乘法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的，积的辐角等于各复数的辐角的．
2．除法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的．
1.×＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：C
2．4(cos π＋isin π)÷2＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案：C
复数的代数形式化为三角形式
[例1] (链接教科书第84页例1)将下列复数代数式化成三角形式：
(1)＋i；
(2)1－i.
[解] (1)r＝＝2，所以cos θ＝，
对应的点在第一象限，所以arg(＋i)＝，
故＋i＝2.
(2)r＝＝，所以cos θ＝，
对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝，
故1－i＝.
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模；
(2)决定辐角所在的象限；
(3)根据象限求出辐角；
(4)求出复数的三角形式．
[跟踪训练]
1．下列复数是复数三角形式表示的是( )
A.
B．－
C.
D．cosπ＋isinπ
解析：选D 选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－<0不符合r≥0要求；选项C，是sinπ与icosπ用“＋”连接而不是cos＋isinπ的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D.
2．复数z＝－i的三角形式为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：选D 因为r＝2，所以cos θ＝，与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，故z＝－i＝2.
复数的三角形式化为代数形式
[例2] (链接教科书第85页例2)复数z＝化为代数形式为( )
A.＋ i B．－＋ i
C．－－ i D.－ i
[解析] z＝
＝sin＋icos
＝×＋i×
＝－i.
[答案] D
将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A．
[跟踪训练]
复数的代数形式为________．
解析：
＝
＝
＝＝1－i.
答案：1－i
复数三角形式的乘法、除法运算
[例3] (链接教科书第87页例3、88页例5)计算：
(1)2×；
(2)6(cos 160°＋isin 160°)÷[(cos 25°＋isin 25°)]．
[解] (1)2×
＝2
＝－2i.
(2)原式＝3[cos(160°－25°)＋isin(160°－25°)]
＝3(cos 135°＋isin 135°)
＝3
＝－3＋3i.
在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示．
[跟踪训练]
1．计算：2i÷.
解：2i÷
＝2(cos 90°＋isin 90°)÷
＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i.
2．已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值．
解：∵z1＝4＋4i＝4，
z2＝－1－i＝，
∴z1z2＝4
＝8
＝8，
∴θ1＋θ2＝.
复数三角形式乘、除运算的几何意义
[例4] (链接教科书第88页例4)在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
[解] 因为3－i＝2
＝2.
所以2×
＝2
＝2
＝2＝3＋i，
2×
＝2
＝2＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
[跟踪训练]
在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．
解：＋i＝，
由题意得×
＝×2
＝3＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
1．复数z＝1＋i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝(sin 45°＋icos 45°)
B．z＝(cos 45°＋isin 45°)
C．z＝[cos(－45°)－isin(－45°)]
D．z＝[cos(－45°)＋isin(－45°)]
解析：选B 依题意得r＝＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确．故选B.
2．已知i为虚数单位，z1＝(cos 60°＋isin 60°)，z2＝2(sin 30°－icos 30°)，则z1·z2＝( )
A．4(cos 90°＋isin 90°) B．4(cos 30°＋isin 30°)
C．4(cos 30°－isin 30°) D．4(cos 0°＋isin 0°)
解析：选D ∵z2＝2(sin 30°－icos 30°)＝2·(cos 300°＋isin 300°)，
∴z1·z2＝(cos 60°＋isin 60°)·2·(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)．故选D.
3．计算的值．
解：
＝
＝
＝＝2
＝1＋i.
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8复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
[A级 基础巩固]
1．若a<0，则a的三角形式为( )
A．a(cos 0＋isin 0) B．a(cos π＋isin π)
C．－a(cos π＋isin π) D．－a(cos π－isin π)
解析：选C 因为a<0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a(cos π＋isin π)．故选C.
2．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是( )
A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160°
C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160°
解析：选B (sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)
＝(cos 80°＋isin 80°)(cos 80°＋isin 80°)
＝cos 160°＋isin160°.故选B.
3．(多选)设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则( )
A．p q B．p / q
C．q p D．q / p
解析：选AD 当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；
当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p q，q / p．故选A、D.
4．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是( )
A．＋i B．－＋i
C．－－i D．－i
解析：选A i＝cos ＋isin ，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝＋i.
5．2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝( )
A.＋i B.－i
C.＋i D.－i
解析：选B 2÷2(cos 60°＋isin 60°)
＝2(cos 0°＋isin 0°)÷2(cos 60°＋isin 60°)
＝cos(0°－60°)＋isin(0°－60°)
＝cos(－60°)＋isin(－60°)
＝－i.故选B.
6．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________．
解析：由题意知，z＝2＝1＋i.
答案：1＋i
7．复数cos＋isin的辐角主值是________．
解析：原式＝cos＋isin＝cos＋isin，故其辐角主值为.
答案：
8．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝________．
解析：(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝ cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
答案：＋i
9．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)－2；
(2)sin ＋icos .
解：(1)不是．
－2＝2
＝2
＝2.
(2)不是．
sin ＋icos ＝cos＋isin
＝cos＋isin.
10．计算：
(1)2×；
(2)2÷.
解：(1)原式＝2×
＝＝－＋i.
(2)原式＝2÷
＝2
＝2＝－2i.
[B级 综合运用]
11．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ＋isin θ)的辐角的主值是( )
A．θ＋ B．θ＋
C．θ－ D．θ＋
解析：选B (1＋i)(cos θ＋isin θ)＝·(cos θ＋isin θ)
＝，
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.
12．设z＝1＋i，则复数的代数形式为________，三角形式是________．
解析：将z＝1＋i代入，得
原式＝＝＝1－i
＝.
答案：1－i
13.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．
解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为＝＋i，＝＋＝＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i.
答案：2＋i
14．设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin ＋icos ，求eq \f(z1·z,i9·\o(z,\s\up6(－))3)的值．
解：∵z1＝＋i＝2，z2＝1－i＝，
∴eq \f(z1·z,i9·\o(z,\s\up6(－))3)＝
＝
＝4
＝4
＝－2－2i.
[C级 拓展探究]
15．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝＋i＝2(cos ＋isin )，
设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，
所以z1·z＝2×4(cos 2α＋isin 2α)
＝8.
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以α＝kπ＋(k∈Z)．
又α∈(0，π)，所以α＝，
所以z2＝2＝－1＋i.
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