(共35张PPT)复数的乘、除运算
[A级 基础巩固]
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵z＝＝＝－i，∴复数z在复平面内对应的点是，位于第四象限．故选D.
3．复数＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析：选A ＝＝－1.
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A. B．1
C. D．2
解析：选B ∵＋＝＋＝＋i，又∵＋是实数，∴＝0，解得a＝1.
5．(多选)下列关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的是( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1－i D．z的虚部为－1
解析：选BC ∵z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为1－i，z的虚部为1.故选B、C.
6．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
解析：复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i，实部是2.
答案：2
7．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________．
解析：∵z＝1＋i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.
答案：－3
8．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则eq \f(2－,z)＝________．
解析：∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，
eq \f(2－,z)＝＝＝－1＋2i.
答案：－1＋2i
9．设w＝－＋i，求证：
(1)1＋w＋w2＝0；
(2)w3＝1.
证明：(1)因为w2＝＝－i－＝－－i，
所以1＋w＋w2＝1＋＋＝0.
(2)w3＝ww2＝＝－＝＋＝1.
10．计算：
(1)＋(－－i)3＋；
(2).
解：(1)＋(－－i)3＋
＝－i＋＋
＝－i－8i＋i
＝－8i.
(2)
＝＝
＝
＝
＝－2－2i.
[B级 综合运用]
11．(多选)已知复数z满足·z＋2i＝3＋ai，a∈R，则实数a的值可能是( )
A．1 B．－4
C．0 D．5
解析：选ABC 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
∴x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai，
∴ y2＋2y＋－3＝0，
∴Δ＝4－4≥0，解得－4≤a≤4，
∴实数a的值可能是1，－4，0.故选A、B、C.
12．(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z11＝z22
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：选ABC A项，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；
B项，z1＝2 1＝z2，真命题；
C项，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z11＝z22，真命题；
D项，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
13．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，则实数a的值等于________．
解析：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，所以解得a＝11或－.
答案：11或－
14．已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2.
又＝＝＝＋i为实数，所以＝0，故a＝－2b.又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
(2)z1＝＋－i＝4＋＋i
＝＋i.
因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，
所以解得－2故实数m的取值范围为∪.
[C级 拓展探究]
15．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根．
(1)求p＋q的值；
(2)复数w满足zw是实数，且|w|＝2，求复数w的值．
解：(1)关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
(2)设w＝a＋bi(a，b∈R)．
由(a＋bi)(2＋i)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R，得a＋2b＝0.
又|w|＝2，则a2＋b2＝20，解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.
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4复数的乘、除运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象
2.理解复数乘法的运算律 数学运算
我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有(a＋b)c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中m，n均为正整数．
[问题] 复数的运算满足上述的运算律吗？
知识点一 复数的乘法
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．复数乘法的运算律
对于任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
1．复数的乘法与多项式乘法有何不同？
提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2．多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也适用．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个复数的积一定是虚数．( )
(2)两个共轭复数的和与积是实数．( )
答案：(1)× (2)√
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B.
C．3 D.
解析：选A z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.故选A.
3．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.故选D.
知识点二 复数的除法
复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
i是虚数单位，则＝________．
解析：＝＝＝2－3i.
＝＝.
答案：
复数代数形式的乘法运算
[例1] (链接教科书第78页例3、例4)计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
[解] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
复数的乘法运算法则的应用
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．
[跟踪训练]
1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( )
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i
解析：选D (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D.
2．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题设知z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，在复平面内对应的点为(4，－2)，位于第四象限．故选D.
复数代数形式的除法运算
[例2] (1)设z＝，则|z|＝( )
A．2 B.
C. D．1
(2)(链接教科书第79页例5)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)∵ z＝＝＝，所以|z|＝ ＝.
(2)由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
[答案] (1)C (2)B
1．两个复数代数形式的除法运算的步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
[跟踪训练]
1．已知z(2＋i)＝1＋ai(a∈R，i为虚数单位)，若z为纯虚数，则a＝( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选A ∵z(2＋i)＝1＋ai(a∈R)，
∴z(2＋i)(2－i)＝(1＋ai)(2－i)，
∴z＝.
∵z为纯虚数，∴＝0且≠0，∴a＝－2.故选A.
2．计算：＝________．
解析：法一：＝＝
＝－2＋i.
法二：＝
＝＝＝
＝－2＋i.
答案：－2＋i
i幂值的周期性及应用
[例3] 计算下列各式的值：
(1)i2 020；
(2)(1＋i)12＋(1－i)12；
(3)1＋i＋i2＋…＋i2 020.
[解] (1)i2 020＝i4×505＝i4＝1.
(2)(1＋i)12＋(1－i)12＝[(1＋i)2]6＋[(1－i)2]6
＝(2i)6＋(－2i)6＝(－4)3＋(－4)3＝－128.
(3)1＋i＋i2＋…＋i2 020＝(1＋i＋i2＋i3)＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋…＋(i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019)＋i2 020＝0×505＋i2 020＝1.
利用i幂值的周期性解题的技巧
(1)熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
(2)对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
[跟踪训练]
若A＝{x|x＝i2n＋i－2n，n∈N*}，则集合A的子集的个数为( )
A．3 B．4
C．8 D．16
解析：选B 当n＝1时，x＝i2＋i－2＝－1＋(－1)＝－2，当n＝2时，x＝i4＋i－4＝1＋1＝2，当n＝3时，x＝i6＋i－6＝－2，当n＝4时，x＝i8＋i－8＝2，因此A＝{2，－2}，故A有4个子集．
在复数范围内解方程
[例4] (链接教科书第79页例6)在复数范围内解下列方程：
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
[解] (1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根为±i.
(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
[跟踪训练]
已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值．
解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的条件得x＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的实根为x＝或－，相应的k的值为k＝－2或2.
欧拉公式及其应用
欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．
[问题探究]
1．复数eeq \s\up6(－i)的虚部是多少？
提示：复数eeq \s\up6(－i)＝cos＋isin＝－i，所以复数e－i的虚部为－.
2．求复数eeq \s\up6(i)＋e eq \s\up6(i)的模．
提示：复数eeq \s\up6(i)＋eeq \s\up6(i)＝cos＋isin＋cos＋isin ＝＋i，
所以复数eeq \s\up6(i)＋eeq \s\up6(i)的模为＝.
[迁移应用]
复数z＝eiθ(θ∈R)，z的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为Z0，A(－1，0)与B(0，1)为定点，则函数f(z)＝|(z＋1)(－i)|取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三点为顶点的图形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解析：选D ∵z＝eiθ＝cos θ＋isin θ，∴(z＋1)(－i)＝(cos θ＋1＋isin θ)(cos θ－isin θ－i)＝cos2θ－isin θcos θ－icos θ＋cos θ－isin θ－i＋isin θcos θ＋sin2θ＋sin θ＝(cos θ＋sin θ＋1)－i(cos θ＋sin θ＋1)，
∵f(z)＝|(z＋1)(－i)|，
∴f(z)＝
＝
＝ ，
当sin＝1时，f(z)取得最大值，
即当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，f(z)取最大值，
此时z＝＋i，＝－i，
又∵A(－1，0)，B(0，1)，
∴|Z0A|2＝＋＝2＋，
|Z0B|2＝＋＝2＋，
又|AB|2＝(－1－0)2＋(0－1)2＝2，
∴|Z0A|＝|Z0B|，且|Z0A|2＋|Z0B|2≠|AB|2，
∴该图形为等腰三角形．故选D.
1．若复数z满足(3－4i)z＝5(1－i)，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
A．1 B．－
C. D．－1
解析：选C 根据已知得z＝＝＝＝＋i，则复数z的虚部为.故选C.
2．已知m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选A 由(m＋i)(2－3i)＝(2m＋3)＋(2－3m)i＝5－i，得解得m＝1.
3．已知i是虚数单位，复数z＝＋i2 019在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵z＝＋i2 019＝＋(i4)504·i3＝－2－i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－2，－1)，位于第三象限，故选C.
4．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|为( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 因为复数z满足z(1－i)2＝1＋i，z＝＝＝－＋i，|z|＝.故选B.
5．计算：＋－＝________．
解析：原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
答案：－16i
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