(共26张PPT)复数的加、减运算及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，结合实数的加减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则 数学抽象
2.结合向量的加减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义 数学运算
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律．
[问题] 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？
知识点 复数的加法、减法
1．复数的加、减法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．复数加、减法的几何意义
如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是．
1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数与复数相加减后结果不可能是实数．( )
(2)两个复数的加法不满足结合律．( )
(3)复数加、减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
解析：选B z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
解析：选D ∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
4．在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
解析：选C ＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，故＋对应的复数为0.
复数的加、减运算
[例1] (1)(链接教科书第76页例1)计算：(8－2i)－(－7＋5i)＋(3＋7i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
[解] (1)(8－2i)－(－7＋5i)＋(3＋7i)＝[8－(－7)＋3]＋(－2－5＋7)i＝15＋3.
(2)∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
∴(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，∴∴
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
[跟踪训练]
1．计算＋(2－i)－＝________．
解析：＋(2－i)－
＝＋i＝1＋i.
答案：1＋i
2．若(1－3i)＋z＝6＋2i，则复数z＝________．
解析：z＝(6＋2i)－(1－3i)＝6＋2i－1＋3i＝5＋5i.
答案：5＋5i
复数加、减运算的几何意义
[例2] (链接教科书第77页练习2题)如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
[解] (1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，
所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋＝＋，
所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
故||＝＝.
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
[跟踪训练]
已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：
(1)对应的复数；
(2)对应的复数；
(3)△AOB的面积．
解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋，于是＝－，
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.
(2)因为＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.
(3)因为＝＝－＝，＝＝，即＝，＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠AOB＝－，
因此cos∠AOB＝－，
故sin∠AOB＝，
故S△AOB＝||||sin∠AOB＝×××＝，即△AOB面积为.
复数模的最值问题
[例3] (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D.
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)[解析] 设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.
所以|z＋i＋1|min＝1.
[答案] A
(2)[解] 如图所示，
||＝ ＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
[母题探究]
1．(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．
解：因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
2．(变条件，变设问)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图所示，
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
[跟踪训练]
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，求|z＋1|的取值范围．
解：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
∴|z＋1|的取值范围是[0，3]．
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A． B．－
C．－ D．5
解析：选B (－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
解析：选B z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4.
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：选D 在平行四边形ABCD中，＝＝－＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i.故选D.
4．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________．
解析：由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
答案：9π
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．
解析：∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
答案：－1
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6复数的加、减运算及其几何意义
[A级 基础巩固]
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A.0 B.＋i
C.－i D.－i
解析：选C z1＋z2＝－i＝－i.
2．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )
A．12 B．3
C．3 D．9
解析：选C 由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，∴|z|＝ ＝3.故选C.
3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
解析：选A 由图可知，z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A.
4．(多选)若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则( )
A．z的实部是－2 B．z的虚部是4
C．|z|＝2 D.＝－2－4i
解析：选ABD z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，则z的实部是－2，虚部是4，|z|＝2，＝－2－4i.故选A、B、D.
5．已知i为虚数单位，在复平面内，复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，复数z2＝－1＋2i，若复数z＝z1＋z2，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，所以z1＝2－3i.又因为复数z＝z1＋z2，z2＝－1＋2i，所以z＝2－3i＋(－1＋2i)＝1－i.所以复数z对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________．
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.
答案：5
7．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________．
解析：由题意＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴||＝2.
答案：2
8．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________．
解析：z1＋z2＝3＋3i，f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3.
答案：3＋3
9．已知i为虚数单位，计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
10．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.
又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|2＝|(a－c)＋(b－d)i|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，
∴|z1－z2|＝.
法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，
即()2＋|z1－z2|2＝2×(12＋12)，∴|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝.
[B级 综合运用]
11．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．纯虚数z的共轭复数是－z
B．若z1－z2＝0，则z1＝2
C．若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D．若z1－z2＝0，则z1与2互为共轭复数
解析：选AD A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B.若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝2，当z1，z2是虚数时，z1≠2，所以B是假命题；C.若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D.若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与2互为共轭复数，故D是真命题．
12．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________．
解析：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，所以解得
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
答案：5－9i －8－7i
13．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
解析：由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离．∴|z－1|min＝1.
答案：1
14．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i，
∴，，对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
∴＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)．
∴＝－＝(1，1)，＝－＝(－2，2)，
＝－＝(－3，1)．
即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.
(2)∵||＝＝，||＝＝2，
||＝＝，
∴||2＋||2＝10＝||2.
又∵||≠||，
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．
[C级 拓展探究]
15．已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．设D(x，y)，
则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0∴S四边形ABCD＝||||sin B＝××＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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