(共30张PPT)复数的几何意义
[A级 基础巩固]
1．若复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则( )
A．a＞0且b＞0 B．a∈R且b＞0
C．a≥0且b＞0 D．a∈R且b＜0
解析：选B 复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则复数的实部a∈R，虚部b＞0.故选B.
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
解析：选D |z1|＝|5＋3i|＝＝，|z2|＝|5＋4i|＝＝.∵＜，∴|z1|＜|z2|.
3．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选B 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以对应的复数为－2＋i.
4．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解析：选AC |z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选A、C.
5．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
解析：选A 由题意得解得a＝－1.故z＝－1＋i.故选A.
6．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
解析：z1＝1－i对应的点为(1，－1)，z2＝3－5i对应的点为(3，－5)，由两点间距离公式得|z1z2|＝＝2.
答案：2
7．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________．
解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，
∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.
答案：1
8．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|＝5，在复平面内对应的点在函数y＝x的图象上，则z＝________．
解析：由题意设＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti.∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1.又z在复平面内对应的点在第二象限，∴t＜0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
答案：－3＋4i
9．在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
解：记O为复平面的原点，由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)．
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．
由题知，＝，
所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
10．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，
(1)z1，z2是共轭复数；
(2)|z2|<.
解：(1)在复平面内，z1与z2是共轭复数，对应的点关于实轴对称，则
(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)由|z2|<，得 <，
即3sin2 θ＋cos2 θ<2，
所以sin2 θ<，所以kπ－<θ[B级 综合运用]
11．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：选ABD ∵2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A、B、D中结论皆错误，C中结论正确．故选A、B、D.
12．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的集合是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：选A 由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3，
∴复数z对应点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆．
13．若复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点Z，则|z|＝时，a＝________，此时Z与点(1，2)的距离是________．
解析：∵|z|＝＝，∴a＝±1.
∴z＝1＋i或－1＋i.
当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为＝1；
当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为＝.
答案：±1 1或
14．已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
(1)求||，||的值并比较大小；
(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．
解：(1)||＝|＋i|＝ ＝2，
||＝＝ ＝1.
所以||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
不等式1≤|z|≤2等价于不等式组
因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，
而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．
[C级 拓展探究]
15．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．
解：(1)|z|＝＝≥2，
当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2.
(2)当复数z的模最小时，Z(－2，2)．
又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2，所以m＝2－，n＝2－2.
所以＋的最小值为＋，此时m＝2－，n＝2－2.
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4复数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系 直观想象
2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系 直观想象
3.通过向量的模表示复数的模 数学运算
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型．
[问题] (1)你能否为复数找一个几何模型？
(2)怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
知识点一 复平面及复数的几何意义
1．复平面：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的一个点Z(a，b)来表示，如图：
2．复数的几何意义
实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数对吗？
提示：不．虚轴上除了坐标原点以外的点才表示纯虚数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)原点是实轴和虚轴的交点．( )
(2)在复平面内，虚数与复平面内的点一一对应．( )
(3)复数与复平面内的无数多个向量对应．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是________．
答案：(3，－5)
3．若＝(0，－3)，则对应的复数z＝________．
答案：－3i
知识点二 复数的模及共轭复数
1．复数的模
(1)定义：向量的叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的；
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|；
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；
(2)表示：若z＝a＋bi，a，b∈R，则共轭复数＝a－bi.
若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
提示：它们所对应的点关于实轴对称．
1．已知i为虚数单位，若(x－2)＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是( )
A．3，3 B．5，1
C．－1，－1 D．－1，1
解析：选D ∵(x－2)＋yi和3x－i互为共轭复数，
∴解得
2．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选B 因为z＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，
又因为此点在第二象限，所以解得a<－1.故选B.
3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
解析：∵z＝1＋2i，∴|z|＝ ＝.
答案：
复数与复平面内点的关系
[例1] (链接教科书第71页例2)在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：
(1)在虚轴上；
(2)在第二、四象限；
分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或4.
(2)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0.
∴2[母题探究]
1．(变设问)本例中条件不变，若复数在第二象限，求m的范围．
解：由题意，∴22．(变设问)本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值．
解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据；
(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
[提醒] 复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．
[跟踪训练]
1．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，可得解得－32．已知复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点的坐标为(2，－a)，该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为(－2，2)，在第二象限．故选B.
复数与复平面内向量的关系
[例2] 在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
[解] 由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，－3)，(2，0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，若设D(x0，y0)，则有解得故D(3，7)．故顶点D对应的复数为3＋7i.
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[跟踪训练]
1．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________．
解析：复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.
答案：2－i
2．已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a＝________．
解析：依题意可知＝(－3，4)，＝(2a，1)．因为⊥，所以·＝0，
即－6a＋4＝0，解得a＝.
答案：
复数的模
[例3] (链接教科书第71页例2，72页例3)已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？
[解] (1)|z1|＝|＋i|＝ ＝2，
|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)．
由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，
故Z到原点的距离为2.
所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
[跟踪训练]
1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
解析：由|z|＝ ≤2，解得－≤m≤.
答案：
2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，
∴|z1|＝ ＝10，|z2|＝ ＝.
∵10>，∴|z1|>|z2|.
1．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵z＝－2＋i，∴＝－2－i，∴在复平面内对应的点为(－2，－1)．
2．已知i为虚数单位，在复平面内，O为原点，向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－1＋2i
解析：选B 因为向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，所以＝(1，4)，＝(－3，6)，所以＋＝(1，4)＋(－3，6)＝(－2，10)，故向量＋对应的复数为－2＋10i.
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
解析：选A ∵|z|＝2，∴(m－3)2＋(m－1)2＝4，解得m＝1或m＝3.
4．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)对应的点在x轴上方；
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或－，所以当m＝1或－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
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