数系的扩充和复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 逻辑推理
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．
[问题] 我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
知识点一 复数的有关概念
1．复数
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．复数a＋bi的实部是，虚部是；
(2)表示：复数通常用字母z表示，代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)．
2．复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集；
(2)表示：通常用大写字母表示．
1．复数m＋ni(m，n∈R)的实部是m，虚部是ni，对吗？
提示：不对．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以是实数吗？满足什么条件？
提示：b＝0时，复数为实数．
1．复数z＝2＋5i的实部等于______，虚部等于______．
答案：2 5
2．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝______．
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
答案：4
知识点二 复数的分类
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)而言：
(1)z为实数 b＝0；
(2)z为虚数 b≠0；
(3)z为纯虚数
2．集合表示：
1．在复数1＋2i，－，0，4i，－3－i中，不是虚数的为________．
答案：－，0
2．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i是纯虚数，则实数m＝________．
答案：2
知识点三 复数相等
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d．
在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＋y＝________．
解析：由题意知x＝0，y－2＝3，即y＝5，
∴x＋y＝5.
答案：5
复数的概念
[例1] (1)(多选)下列说法中，错误的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数
(2)(链接教科书第70页练习1题)分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
5＋i，－2，－i，－i，i2.
(1)[解析] A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．
B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n.
C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．
D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．
[答案] (1)ABD
(2)[解] 5＋i的实部是5，虚部是.
－2＝－2＋0i，∴－2的实部是－2，虚部是0.
－i的实部是，虚部是－1.
－i＝0＋i，∴－i的实部是0，虚部是－.
i2＝－1＝－1＋0i，∴i2的实部是－1，虚部是0.
∴－2，i2是实数；5＋i，－i，－i是虚数，－i是纯虚数．
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
(3)如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的；
(4)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
[跟踪训练]
下列说法中，正确的是( )
A．1－ai(a∈R)是一个复数
B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小
D．若a＞b，则a＋i＞b＋i
解析：选A 由复数的定义知A正确；当a∈R，b＝0时a＋bi(b∈R)表示实数，故B项错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C项错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D项错误.
复数的分类
[例2] (链接教科书第69页例1)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？(1)虚数；(2)纯虚数．
[解] (1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数．
(2)当即m＝3或－2时，复数z是纯虚数．
[母题探究]
1．(变设问)本例中条件不变，当m为何值时，复数z为实数？
解：当即m＝5时，复数z是实数．
2．(变设问)本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
解：因为z>0，所以z为实数，需满足解得m＝5.
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部；
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可；
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)：
①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
[跟踪训练]
实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
两个复数相等
[例3] (1)(链接教科书第70页练习3题)已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，求实数m的值；
(2)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值．
[解] (1)由已知得
解得m＝－2.
(2)因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，
依题意，得
解得或
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟踪训练]
已知i是虚数单位，若(3＋5i)x＋(2－i)y＝17－2i，x，y∈R，则x＋y＝( )
A．6 B．7
C．8 D．－7
解析：选C 由(3＋5i)x＋(2－i)y＝17－2i，可得(3x＋2y)＋(5x－y)i＝17－2i，所以解得则x＋y＝8.故选C.
1．复数(2＋)i的实部是( )
A．2 B.
C．2＋ D．0
解析：选D 复数(2＋)i的实部是0，故选D.
2．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a，b∈R)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A a＝－2时，z＝(22－4)＋(－2＋1)i＝－i是纯虚数；z为纯虚数时，a2－4＝0，且a＋1≠0，即a＝±2.
∴“a＝2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立．故选A.
3．已知i为虚数单位，集合M＝{1，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{1，3}，M∩N＝{1，3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B 由题意得解得m＝－1.
4．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解：由复数相等的条件得方程组
由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.
解得y1＝－1＋，y2＝－1－.
所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.
即或
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6(共28张PPT)数系的扩充和复数的概念
[A级 基础巩固]
1．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
解析：选C 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C.
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B．
C．－ D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.
3．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，则下面结论正确的是( )
A．A∪B＝C B． UA＝B
C．A∩( UB)＝ D．B∪( UB)＝C
解析：选D 由复数的分类可知D项正确．
4．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
解析：选B 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.
5．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
解析：选A 3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
6．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：易知解得a＝－4.
答案：－4
7．已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋(4b－8)i均是纯虚数，则z＝________．
解析：由题意知且
∴∴z＝－2i.
答案：－2i
8．若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________．
解析：依题意知解得
即m＝3.
答案：3
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)∵x，y∈R，∴由复数相等的定义得
解得
(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得
即∴x＝3.
10．设z＝log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)．
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
解：(1)因为z是虚数，所以其虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是解得1(2)因为z是纯虚数，所以其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是解得m＝2.
[B级 综合运用]
11．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．－1没有平方根
D．当m＝4时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
解析：选BD 取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误； a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；－1的平方根为±i，故C错误；复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数等价于解得m＝4，故D正确．故选B、D.
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2ni＝－2－2i.
所以解得所以z＝3－i.
13．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝________．若z1>z2，则a的取值集合为________．
解析：由z1为纯虚数，则∴a＝.
由z1>z2，得解得a＝0.
答案： 0
14．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解得m＝2.
综上可知m＝1或2.
[C级 拓展探究]
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵z1为纯虚数，∴解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2；
当sin θ＝－1时，λmax＝6.
∴实数λ的取值范围是[2，6]．
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