第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．
[问题] 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由．
知识点 实际应用问题中的有关名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线；
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如图，北偏东30°，南偏东45°.
3．仰角和俯角
(1)前提：在视线所在的垂直平面内；
(2)仰角：视线在水平线以上时，视线与水平线所成的角；
(3)俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线所成的角．
李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
提示：东南方向．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同．( )
(2)东偏北45°的方向就是东北方向．( )
(3)俯角和仰角都是对于水平线而言的．( )
(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．( )
(5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上
解析：选C 如图所示．
3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为( )
A.a km B.a km
C．a km D．2a km
解析：选A 在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A.
4.如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20(－1)米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为( )
A．40 米 B．20 米
C．40米 D．20米
解析：选D Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20(－1)，∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20米．故选D.
测量距离问题
[例1] (链接教科书第49页例9)(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m；
(2)如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．
[解析] (1)tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，故CD＝60.故河的宽度为60 m.
(2)在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400，
∴AB＝20，
故A，B两点之间的距离为20 m.
[答案] (1)60 (2)20 m
测量距离的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
[跟踪训练]
1．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10 海里 B. 海里
C．5 海里 D．5 海里
解析：选D 如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．故选D.
2．某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C两点的距离为( )
A．20 海里 B. 海里
C．20 海里 D. 海里
解析：选A 如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.
由题意得∠APB＝∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝30×＝20(海里)．
在Rt△PAE中，PE＝APsin 60°
＝10(海里)．
在Rt△PBE中，PB＝＝20(海里)．
由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×＝40(海里)，
∴在Rt△PBC中，PC＝＝＝20(海里).
测量高度问题
[例2] (链接教科书第50页例10)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
[解] 设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m.
在△ABC中，根据余弦定理得(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.
由＝，
得CH＝AC·＝140(m)．
故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
测量高度的基本类型及方案
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
[跟踪训练]
如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( )
A．(30＋30)m B．(30＋15)m
C．(15＋30)m D．(15＋15)m
解析：选A 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)(m)，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．故选A.
测量角度问题
[例3] (链接教科书第50页例11)某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
[解] 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)·10.在△ADC中，
因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝.
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为北偏西45°.
测量角度问题画示意图的基本步骤
[跟踪训练]
如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile.
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠CAB＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝，
∵＝，
∴sin ∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵＝，
∴sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船．
1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D 由条件及题图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，故∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为( )
A．2 km B．3 km
C．4 km D．5 km
解析：选A 作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2 km.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，即AB＝2 km.所以A，B之间的距离为2 km.故选A.
3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．
解：依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
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8余弦定理、正弦定理应用举例
[A级 基础巩固]
1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
解析：选C 如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
2.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m B．8 m
C．2 m D．4 m
解析：选D 在△ABC中，已知可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°.所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝42＋42－2×4×4×＝48，∴AB＝4(m)．
3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
解析：选C 如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20. 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60. ∴AB＝OA－OB＝40. 故选C.
4．(多选)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是( )
A. B．2
C．3 D．6
解析：选AB 由题作出示意图，如图所示，易知B＝30°，AC＝，BC＝3，由正弦定理得sin A＝＝＝，
因为BC>AC，所以A>B，又因为B＝30°，所以A有两解，即A＝60°或120°.
当A＝60°时，∠ACB＝90°，x＝2；
当A＝120°时，∠ACB＝30°，x＝.
5．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
解析：选A 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝ (n mile/h)．故选A.
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7. 则A，C两地的距离为7 km.
答案：7
7．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高________米，乙楼高________米．
解析：甲楼的高为20tan 60°＝20×＝20(米)；
乙楼的高为20－20tan 30°＝20－20×＝(米)．
答案：20
8.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________ dm的C处截住足球．
解析：设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝.
∴AC＝17－2x＝7(dm)或－(dm)(舍去)．
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．
答案：7
9．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile；货轮向正北由A处航行到D处，此时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
解：由题意，画出示意图，如图所示．
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，则B＝45°.
由正弦定理，得AD＝
＝24(n mile)．
故A处与D处之间距离为24 n mile.
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos 30°
＝242＋(8)2－2×24×8×
＝(8)2，所以CD＝8(n mile)．
故灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.
10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
解：设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos ∠PBA＝， ①
cos ∠PBC＝. ②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0. ③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，
即建筑物的高度为30 m.
[B级 综合运用]
11.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；
对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；
对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A.
12．(多选)一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的( )
A．北偏东75° B．南偏东15°
C．东北方向 D．东南方向
解析：选AB 画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16(n mile)，∴AB＝16 n mile.
又BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，
∴＝，
∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.
当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B′BS＝75°；
当船在B′处时，∠ASB′＝135°，∠AB′S＝15°.
综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B.
13．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.
解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302. 化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而|t1－t2|＝＝1(h)．
答案：1
14.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
解：设所需时间为t小时，则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或－(舍去)．
所以护航舰需要1小时靠近货船．
此时AB＝10，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝，
则∠CAB＝30°，
故护航舰航行的方位角为75°.
[C级 拓展探究]
15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，
设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，
即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中，AB＝(km)，AC＝1(km)，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(km)．
在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(km)．
∵×60＝5，∴在BC上需5 min，CD上需5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格．
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5(共29张PPT)
北
60°
B
30
A
60
P
