用余弦定理、正弦定理解三角形(习题课)
[A级 基础巩固]
1．若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )
A．6 B.
C．8 D．10
解析：选A 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2(舍去)．设三角形边长为3，5的两边的夹角为α，则cos α＝－，sin α＝.故该三角形的面积S＝×3×5×＝6.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccos A，可得bc＝2bccos A，即cos A＝，所以sin A＝.因为bc＝1，所以S＝bcsin A＝×1×＝，故选C.
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )
A. B．3
C. D．7
解析：选A 因为S△ABC＝AB·ACsin A，所以×2·ACsin 60°＝.所以AC＝1.又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋1－2×2cos 60°＝3.所以BC＝.
4．已知△ABC的周长为20，面积为10 ，A＝60°，则BC边的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由题知a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝10 .所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边的长为7.
5．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选B 因为S＝bcsin A，
所以＝×2csin 120°.所以c＝2.
所以a＝ ＝ ＝2 .
设△ABC外接圆的半径为R.
所以2R＝＝＝4，所以R＝2.
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．
解析：因为cos C＝，0
所以sin C＝.
所以S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4 .
答案：4
7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos ＝3.
因此AD＝.
答案：
8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10 ，则其周长为________．
解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝AB·ACsin A＝10 k2＝10 .所以k＝1，AB＝8，AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝82＋52－2×8×5×＝49，所以BC＝7.所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝，c＝1，cos B＝.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵b＝，c＝1，cos B＝.
∴sin B＝ ＝.
∴由正弦定理可得sin C＝＝＝.
(2)∵c∴由(1)可得cos C＝ ＝.
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××1×＝.
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝－，a＝2 ，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)因为tan A＝－，
所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4ccos ，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
[B级 综合运用]
11．在平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是( )
A．16 B．17.5
C．18 D．18.5
解析：选A 设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，解得a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝，
所以S平行四边形ABCD＝absin α＝16.
12．如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．
解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝＝，则sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，
解得sin C＝.
答案：
13.如图，若圆内接四边形的边长依次为25，39，52和60，则cos A＝________，该圆的直径长度为________．
解析：由余弦定理得
BD2＝392＋522－2×39×52cos C，
BD2＝252＋602－2×25×60cos A，
∵A＋C＝180°，∴cos C＝－cos A，
即(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A＋2×25×60cos A＝0，
∴cos A＝0.∵0°∴A＝90°，∴BD2＝392＋522＝652，
∴BD＝65.
答案：0 65
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边长是a，b，c，向量m＝(b，c)，且满足|m|2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，求△ABC的周长的最大值．
解：(1)∵m＝(b，c)，且|m|2＝a2＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理，得cos A＝＝，
∵0(2)由a＝，A＝及余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×＝，
∴(b＋c)2≤4a2＝12，
∴b＋c≤2 ，当且仅当b＝c＝时，等号成立，
因此，△ABC的周长的最大值为3.
[C级 拓展探究]
15．D为△ABC的边BC的中点，AB＝2AC＝2AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点E，求S△ACE.
解：(1)由题意知AB＝2，AC＝AD＝1.
设BD＝DC＝m.
在△ADB与△ADC中，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos ∠ADC.
即1＋m2－2mcos ∠ADB＝4，①
1＋m2＋2mcos ∠ADB＝1.②
①＋②得m2＝，
所以m＝，即BC＝.
(2)在△ACE与△BCE中，
由正弦定理得＝，
＝，
由于∠ACE＝∠BCE，且＝，
所以＝＝.
所以BE＝AE，
所以AE＝(－1)．
又cos ∠BAC＝
＝
＝－，
所以sin ∠BAC＝，
所以S△ACE＝AC·AE·sin ∠BAC
＝×1×(－1)×
＝.
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6第三课时 用余弦定理、正弦定理解三角形(习题课)
有关三角形面积的计算
[例1] (链接教科书第53页习题10题)(1)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝( )
A．60°或120° B．30°
C．60° D．45°
(2)△ABC中，A＝，AB＝，BC＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] (1)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，
S△ABC＝AB·ACsin A＝，可得sin A＝1，∴A＝90°.
故C＝180°－A－B＝60°.
(2)△ABC中，∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，
∴1＝3＋AC2－2·AC·，
∴AC2－3AC＋2＝0，∴AC＝1或2.
∴△ABC的面积为·AB·ACsin A＝××1×＝或××2×＝.故选D.
[答案] (1)C (2)D
三角形面积计算的依据和解题策略
(1)依据：一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解；
(2)解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积；②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
[跟踪训练]
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________．
解析：由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，∴cos B＝＝＝.
答案：
求解平面几何问题
角度一 有关线段及夹角的计算
[例2] 如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2.
(1)求∠CBD的大小；
(2)求AB的值．
[解] (1)在△BCD中，由余弦定理，得BD＝＝ ＝.
由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2.
∴∠CBD＝90°.
(2)∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝360°－45°－105°－60°＝150°，
由(1)得∠BDC＝30°.
∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝150°－30°＝120°.
在△ABD中，由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝.
角度二 与面积有关的计算
[例3] 如图，已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．
[解] 连接AC(图略)，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，
在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，
可得cos B＝＝＝－.
又0°所以四边形ABCD的面积S＝S△ACD＋S△ABC
＝AD·CDsin D＋AB·BCsin B
＝×4×6sin 60°＋×2×4sin 120°＝8.
多边形中计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点．还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决；
(2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．
[跟踪训练]
1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，B＝，∠ACD＝.
(1)求sin∠BAC；
(2)求DC的长．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B，
即BC2＋BC－6＝0，
解得BC＝2或BC＝－3(舍去)，
由正弦定理，得＝ sin∠BAC＝＝.
(2)因为AB⊥AD，
所以∠CAD＋∠BAC＝，
所以cos∠CAD＝sin∠BAC＝，
sin∠CAD＝ ＝，
所以sin D＝sin＝×＋×＝，
由正弦定理，得＝ DC＝
＝＝.
2．已知四边形ABCD满足∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠DAC＝60°，AC＝2，AD＝＋1.求CD的长和△ABC的面积．
解：在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝6，所以CD＝.
在△ACD中，由正弦定理得＝，
则sin∠ADC＝，又0°<∠ADC<120°，
所以∠ADC＝45°，从而有∠ACD＝75°，
由∠BCD＝150°，得∠ACB＝75°，又∠BAC＝30°，
所以△ABC为等腰三角形，即AB＝AC＝2，
故S△ABC＝1.
正、余弦定理的综合应用
[例4] 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b－2c，a)，且m⊥n，
(1)求角A；
(2)若a＝2，①求的值；
②求△ABC面积的最大值；
③求△ABC周长的范围．
[解] (1)因为m⊥n，所以m·n＝0，
所以(b－2c)cos A＋acos B＝0.
即bcos A＋acos B＝2ccos A，
由余弦定理得b·＋a·＝2ccos A，
即c＝2ccos A，所以cos A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)①由正弦定理得＝＝＝＝.
所以＝.
②由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos ≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c时取等号．
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝.
即△ABC面积的最大值为.
③由②知4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
所以bc＝.
又b＋c≥2，
所以(b＋c)2≥4·，
即(b＋c)2≤16，
所以－4≤b＋c≤4.
又b＋c>a＝2，
所以2故4即△ABC周长的范围为(4，6]．
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解；
(2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
[跟踪训练]
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.
(1)求证：A＝B；
(2)求边长c的值；
(3)若|＋|＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：∵·＝·，
∴bccos A＝accos B，即bcos A＝acos B.
由余弦定理得b·＝a·，
∴a＝b，∴A＝B.
(2)∵·＝1，∴bccos A＝1.
由余弦定理得bc·＝1，
即b2＋c2－a2＝2.
∵a＝b，∴c2＝2，∴c＝.
(3)∵|＋|＝，
∴||2＋||2＋2·＝6，
即c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4.
∵c2＝2，∴b2＝2，b＝.
∴△ABC为正三角形．
∴S△ABC＝×××sin 60°＝.
1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A. B．5
C．6 D．7
解析：选B 连接BD(图略)．在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 .
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为________．
解析：由正弦定理＝，
得＝，解得sin C＝.
又c故B＝90°.所以S＝ac＝×1×＝.
答案：
3.如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，则AB的长为________．
解析：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝，
可得BC＝11 .
在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝11×tan 30°＝11 .
答案：11
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B＝，a＝7，·＝－21，求C.
解：∵·＝||||cos(π－B)
＝－accos B＝－ac＝－21，∴ac＝35.
又∵a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝49＋25－2×7×5×＝32，
∴b＝4 .
由正弦定理得＝，即sin C＝，
∴sin C＝＝，又∵c＝5，a＝7，
∴c故C为锐角，∴C＝.
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7(共27张PPT)
B
C