正弦定理
[A级 基础巩固]
1．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于( )
A．1 B.
C．3 D.
解析：选C C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3.故选C.
2．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
解析：选B 由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.
3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知＝，∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，又∵0°
∴C＝45°.故选B.
4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 由正弦定理，得＝，由a＝bsin A，得sin B＝1，所以B＝，即△ABC为直角三角形．
5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝7，b＝5，A＝80°
解析：选BC 选项A：因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解．选项B：因为sin C＝＝<1，且c>b，所以角C有两解．选项C：因为sin B＝＝<1，且b>a，所以角B有两解．选项D：因为sin B＝<1，且b6．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________．
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________．
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1(舍去)．
答案： 3
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．
解析：在△ABC中，∵sin B＝，0又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，
∴A＝π－－＝π.
∵＝，∴b＝＝1.
答案：1
9．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
解：∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得＝＝2R，
∴c＝＝＝5，
∴2R＝＝＝10，∴R＝5.
10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求的值．
解：(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc，
∴cos A＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由b2＝ac，得＝，
∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝.
[B级 综合运用]
11．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶6，则sin B等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶6及正弦定理，得a∶b∶c＝3∶5∶6，则可设a＝3k，b＝5k，c＝6k，k>0.
由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，
则sin B＝＝.
12．(多选)在△ABC中，若A>B，则下列不等式中一定正确的是( )
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B D．cos 2A解析：选ABD A>B a>b sin A>sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos Asin B>0，∴sin2A>sin2B，∴cos 2A13．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________．
解析：如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD，∴DC＝2，AC＝＝.
由正弦定理知，sin∠BAC＝＝×3＝.
答案：
14．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：＝.
证明：如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝180°－β.
在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得＝，＝.
又因为sin(180°－β)＝sin β，所以＝，
即＝.
[C级 拓展探究]
15．在正弦定理中，设＝＝＝k，试探究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系．
解：k＝2R.
如图①，当A＝90°时，＝BC＝2R.
如图②，当A是锐角时，连接BO并延长交⊙O于点A′.
可知∠BAC＝∠BA′C.且△BCA′是直角三角形，
∴sin ∠BAC＝sin∠BA′C＝＝，
∴＝＝2R.
当A是钝角时，如图③可知sin A＝sin (180°－A)＝sin A′＝＝，
∴＝＝2R.
故＝2R恒成立．
同理可证＝＝＝2R.
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4(共27张PPT)第二课时 正弦定理
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小．
[问题] 你能借助这三个量，求出AB的长吗？
知识点 正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言 ＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)
正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(4)＝2R.
如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
提示：＝＝＝c.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( )
(2)在△ABC中，等式asin A＝bsin B总成立．( )
(3)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a∶b∶c＝A∶B∶C.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．在△ABC中，下列等式总能成立的是( )
A．acos C＝ccos A B．bsin C＝csin A
C．absin C＝bcsin B D．asin C＝csin A
解析：选D 由正弦定理易知，选项D正确．
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由＝，故＝，解得sin B＝.故选A.
已知两角及一边解三角形
[例1] (链接教科书第47页例7)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由＝得，c＝＝
＝＝4(＋1)．
所以A＝45°，c＝4(＋1)．
已知两角及一边解三角形的一般步骤
[跟踪训练]
在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长．
解：因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，
故B角最小，所以b为最短边，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝，
故所求的最短边长为.
已知两边及一边的对角解三角形
[例2] (链接教科书第47页例8)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形．
[解] 由正弦定理＝，知sin A＝＝，
∵b当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝＝＝.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.
[母题探究]
(变条件)若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”其他条件不变，解此三角形．
解：由正弦定理＝，知sin B＝＝，
∵b∴c＝＝＝.
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
[跟踪训练]
在△ABC中，解三角形．
(1)b＝4，c＝8，B＝30°；
(2)a＝6，b＝6，A＝30°.
解：(1)由正弦定理，得sin C＝＝＝1.
∵c>b，∴C>30°，∴30°∴A＝180°－(B＋C)＝60°，a＝＝4.
∴C＝90°，A＝60°，a＝4.
(2)由＝，得sin B＝＝＝，
∵b>a，∴B>30°，∴30°当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
又＝，∴c＝＝＝＝12；
当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，
∴c＝a＝6.
∴B＝60°，C＝90°，c＝12或B＝120°，C＝30°，c＝6.
判断三角形的形状
[例3] (1)若acos B＝bcos A，则△ABC是________三角形；
(2)若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形．
[解析] (1)由正弦定理＝，得＝.
又acos B＝bcos A，所以＝，
所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，
即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin(A－B)＝0.
因为A，B是三角形内角，
所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形．
(2)由正弦定理＝，得＝.
又acos A＝bcos B，所以＝，
所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，
所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.
因为A，B为三角形内角，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
[答案] (1)等腰 (2)等腰或直角
利用正弦定理判断三角形形状的方法
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
(2)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．
[提醒] 本例也可利用余弦定理化成边求解．
[跟踪训练]
在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选D 由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C. 故△ABC为等边三角形．故选D.
三角形解的个数判断
在初中我们学习了三角形全等的判定，你还记得三角形全等的判定方法吗？两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即两边和其中一边的对角分别相等不能作为判定两个三角形全等的依据．如图，在△ABC和△ADC中，AC＝AC，CB＝CD，∠CAD＝∠CAB，其中A是CB，CD的对角，△ABC与△ADC不全等．
也就是说，已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的个数不唯一，分为两解、一解和无解三种情况．
[问题探究]
1．你能从代数的角度分析解的情况吗？
提示：在△ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得sin B＝sin A.
(1)当sin B>1时，这样的B不存在，即三角形无解；
(2)当sin B＝1时，B＝90°，若A<90°，则三角形有一解，否则无解；
(3)当sin B<1时，B有两个(一个为锐角，一个为钝角)，其中设锐角为α，钝角为β，则当A＋α>180°时，三角形无解；当A＋α<180°，且A＋β<180°时，有两解；当A＋α<180°，且A＋β>180°时有一解．
2．你能从几何的角度分析解的情况吗？
提示：在△ABC中，已知a，b和A，解三角形．
当A为锐角时，如图所示．
当A为直角或钝角时，如图所示．
[迁移应用]
1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．0个 D．无法确定
解析：选B ∵bsin A＝×＝，∴bsin A2．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．2解析：选C 由题意知a>b，则x>2，又由sin A＝＝<1，可得x<2，∴x的取值范围是21．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 根据正弦定理得＝＝.故选A.
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析：选B 由正弦定理＝，得＝，所以AC＝×＝2.
3．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
解：由＝，得sin B＝＝.
∵aA＝30°，
∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝＝2；
②当B＝120°时，
C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
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