余弦定理、正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系 逻辑推理
2.掌握余弦定理、正弦定理 数学运算
3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 数学建模
第一课时 余弦定理
利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角．
[问题] 例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小．你能根据这三个量求出AB的距离吗？
知识点一 余弦定理
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
推论 cos A＝；cos B＝；cos C＝
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )
(2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
(4)在△ABC中，若a2
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝
解析：选A 由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.
3．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝( )
A. B．8
C．10 D．7
解析：选D 由余弦定理得：c＝＝＝7.故选D.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________．
解析：由余弦定理，得cos B＝＝＝－.又0°答案：150°
已知两边及一角解三角形
[例1] (链接教科书第43页例5)(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________．
[解析] (1)由余弦定理得：
a＝
＝ ＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或5.
[答案] (1)60 (2)4或5
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解；
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
[跟踪训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝( )
A．4 B.
C．3 D.
解析：选D cos C＝－cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D.
2．在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形．
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时，cos A＝＝－，
∵0°当c＝6时，cos A＝＝，
∵0°综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
已知三边或三边关系解三角形
[例2] (链接教科书第44页练习2题)(1)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，求·的值；
(2)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各内角的度数．
[解] (1)根据余弦定理的推论得cos A＝＝＝，
·＝－·＝－||·||·cos A＝－3×2×＝－.
(2)由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，∴A＝45°.
cos B＝＝＝，∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
已知三角形三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[跟踪训练]
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B 在△ABC中，∵a＝3，b＝5，c＝，
∴最大角为B，最小角为A，
∴cos C＝＝＝，∵0°∴A＋B＝120°，
∴△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．
解析：由已知可得(a＋b)2－c2＝ab，
∴cos C＝＝－.∵C∈(0，π)，∴C＝.
答案：
判断三角形的形状
[例3] (1)在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断三角形的形状；
(2)在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
[解] (1)∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)．
∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°∴－180°又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝.
∵0°(2)由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．
判断三角形形状的基本思想和两条思路
[跟踪训练]
在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C所对的边)，判断三角形的形状．
解：因为cos2 ＝，
所以＝＋，所以cos A＝.
由余弦定理的推论cos A＝，得＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C ∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.
2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长是________．
解析：设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2.
答案：2
3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝________．
解析：由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，
∴c＝5.
∴cos B＝＝＝.
答案：
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
解：(1)∵(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，
∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.
∴cos A＝＝＝.
∵0°(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．
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6余弦定理
[A级 基础巩固]
1．在△ABC中，若a＝2，b＝，c＝＋1，则A＝( )
A．45° B．30°
C．135° D．150°
解析：选A 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，∴A＝45°.
2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或－4(舍去)．故选A.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cos B＝＝＝.
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
解析：选A 依题意两式相减得ab＝.故选A.
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b6．在△ABC中，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________．
解析：由余弦定理，得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3.
答案：3
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则B＝________．
解析：因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cos B＝＝＝，又0°答案：45°
8．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．
解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a.
所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，
由余弦定理，得cos α＝＝.
答案：
9．用余弦定理证明：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B.
证明：∵bcos C＋ccos B
＝b·＋c·
＝＋
＝＝a.
∴在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B成立．
10．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cos A＝，
cos B＝，cos C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
化简整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
[B级 综合运用]
11．(多选)在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值可能为( )
A. B.
C. D.
解析：选BD ∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵012．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，则b＝________．
解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
知B＝60°，a＋c＝8，ac＝15，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝82－3×15＝19.
∴b＝.
答案：
13．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．
解析：由余弦定理，可得
cos A＝＝＝，
又0则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.
答案：
14．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长度．
解：(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，又0°(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
所以
所以由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
＝b2＋a2－2abcos 120°
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10.
所以AB＝.
[C级 拓展探究]
15．若AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM＝ .
证明：如图，设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α.
在△ABM中，由余弦定理，得AB2＝AM2＋BM2－2AM·BMcos α.
在△ACM中，由余弦定理，得AC2＝AM2＋MC2－2AM·MCcos(180°－α)．
因为cos(180°－α)＝－cos α，BM＝MC＝BC，
所以AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，
从而AM＝ .
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