平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
[A级 基础巩固]
1．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
解析：选A s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，∴s＞|a|.故选A.
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析：选B 设夹角90°时，合力为F，
|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N.
3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝( )
A．－ B.
C．0 D.
解析：选B 如图建立平面直角坐标系，
则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，
∴＝(－3，－4)，＝(3，－4)．
又∠BDC为，的夹角，
∴cos∠BDC＝＝＝.
4．(多选)已知O是四边形ABCD内一点，若＋＋＋＝0，则下列结论错误的是( )
A．四边形ABCD为正方形，点O是正方形ABCD的中心
B．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的对角线交点
C．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
解析：选ABC 由＋＋＋＝0知，＋＝－(＋)．设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则，知＋＝0，O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，则O是MN的中点，所以O是EF，MN的交点．
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
解析：选AC 设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c|·|cos α|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sin θ.故选A、C.
6．已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点P在线段AB的中垂线上，则x＝________．
解析：设AB的中点为M，则M，＝(x－1，－1)，由题意可知＝(－4，－3)，⊥，则·＝0，所以－4(x－1)＋(－1)×(－3)＝0，解得x＝.
答案：
7．一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于________．
解析：设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250＝10×50×cos θ，∴cos θ＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||＝________．
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a)，
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8，
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2.
答案：2
9.如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：·＝(＋)·(＋)＝·
＝·
＝·
＝－||2＋||2.
因为CA＝CB，所以－||2＋||2＝0，故AD⊥CE.
10．某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶，感觉到风从正南方向吹来，而当其速度变为40 km/h时，他又感觉到风从西南方向吹来，求实际风速的大小和方向．
解：设v1表示20 km/h的速度，在无风时，此人感觉到的风速为－v1，实际的风速为v，那么此人所感觉到的风速为v＋(－v1)＝v－v1.
如图，令＝－v1，＝－2v1，实际风速为v.
∵＋＝，∴＝v－v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度．
∵＋＝，∴＝v－2v1.这就是当车的速度为40 km/h时，骑车人感觉到的风速．
由题意，得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，
∴△DCA为等腰三角形，DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴DA＝DC＝BC.
∴|v|＝20 km/h.
∴实际风速的大小是20 km/h，为东南风．
[B级 综合运用]
11.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小
D．船的浮力保持不变
解析：选AC 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ.
则|F|cos θ＝|f|，|F|＝.
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力变小．
12．在△ABC中，设－＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．外心 D．重心
解析：选C 假设BC的中点是O，则－＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心．故选C.
13．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3＋4＋5＝0，则·＝________．
解析：因为3＋4＋5＝0，
所以3＋4＝－5，
所以92＋24·＋162＝252.
因为A，B，C在圆上，所以||＝||＝||＝1.
代入原式得·＝0，
所以·＝－(3＋4)·(－)
＝－(3·＋42－32－4·)＝－.
答案：－
14．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|.设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，当⊥时所需的时间t为多少秒？
解：e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为；3e1＋2e2＝(3，2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为.
依题意知，||＝t，||＝t，
∵＝||＝(t，t)，＝||＝(3t，2t)，
由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)，
∵⊥，∴·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.即当⊥时所需的时间为2 s.
[C级 拓展探究]
15．我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量．设e＝(A，B)是直线l的一个方向向量，那么n＝(－B，A)就是直线l的一个法向量(图①)．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离．
已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为(||cos θ)(θ为向量n与 的夹角)，其模就是点P到直线l的距离d，即d＝(图②)．
据此，请解决下面的问题：已知点A(－4，0)，B(2，－1)，C(－1，3)，求点A到直线BC的距离．
解：设点P(x，y)是直线BC上的任意一点，则∥，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－3，4)，
∴4(x－2)＝－3(y＋1)，即4x＋3y－5＝0，
∴直线BC的一个方向向量为.
取e＝(3，－4)，则n＝(4，3)为BC的一个法向量，
又＝(6，－1)，
∴点A到直线BC的距离d＝＝＝.
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6平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
新课程标准解读 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 数学建模
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学运算、逻辑推理
在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．
[问题] 你能从数学的角度解释上述现象吗？
知识点 平面向量的应用
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中；
(3)动量mv是向量的数乘运算；
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD
提示：证明或计算·＝0，从而得出AB⊥CD.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.( )
(2)若∥，则直线AB与CD平行．( )
(3)物理学中的功是一个向量．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
解析：选C ∵＝3a，＝－5a，∴∥，||≠||，∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
3．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选C 题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|.
平面向量在平面几何中的应用
角度一 平行或共线问题
[例1] 如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线．
[证明] 因为DE＝AB，DF＝DB，
所以＝，＝＝.
于是＝－＝－＝＋＝＝－，因此∥，
又因为，有公共点F，所以A，E，F三点共线．
证明A，B，C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线；
(2)说明两向量有公共点；
(3)下结论，即A，B，C三点共线．
角度二 垂直问题
[例2] 如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量证明：PA⊥EF.
[证明] 法一：设正方形边长为a，由于P是对角线BD上的一点，可设＝λ(0<λ<1)．则＝－＝－λ＝－λ(＋)＝(1－λ)－λ.
又因为＝－＝(1－λ)－λ，
所以·＝[(1－λ)－λ]·[(1－λ)－λ]＝(1－λ)2·－(1－λ)λ·－λ(1－λ)·＋λ2·＝－λ(1－λ)a2＋λ(1－λ)a2＝0，
因此⊥，故PA⊥EF.
法二：以D为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设正方形边长为a，由于P是对角线BD上的一点，设DP＝λDB＝λa(0<λ<1)，则A(0，a)，P(λa，λa)，E(a，λa)，F(λa，0)，
于是＝(－λa，a－λa)，＝(λa－a，－λa)，
因此·＝－λa(λa－a)－(a－λa)λa＝－λ2a2＋λa2－λa2＋λ2a2＝0，因此⊥，故PA⊥EF.
向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法
(1)①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD；
(2)建立适当的平面直角坐标系，先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.
角度三 长度问题
[例3] 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设＝a，＝b，
则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，①
||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.
∵由①得2a·b＝1，∴||2＝6，∴||＝，即AC＝.
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ .
角度四 夹角问题
[例4] 已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小．
[解] 如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(，1)，E，＝(，1)，＝，
∴cos ∠EAC＝＝＝.
∵0<∠EAC<，∴∠EAC＝.
平面几何中夹角问题的求解策略
利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方向，一是利用基底法，二是利用坐标运算．在求解过程中，务必注意向量的方向．
[跟踪训练]
如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且DC＝2BD.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3，∴AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则向量与的夹角为θ.
∵cos θ＝＝
＝＝＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
平面向量在物理中的应用
角度一 利用向量解决速度、位移问题
[例5] 在风速为75(－)km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．
[解] 设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成三角形(如图所示)，
∵||＝|va|＝150，||＝|v0|＝75(－)，||＝|vb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD＝45°，∴||＝||＝||＝75 ，
∴||＝||＋||＝||＋||＝75(－)＋75＝75，
从而tan ∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，||＝150 ，|vb|＝150，
∴没有风时飞机的飞行速度为150 km/h，航向为北偏西60°.
速度问题的向量解法
运用向量解决物理中的速度问题时，一般涉及速度的合成与分解，因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题，正确地作出图形解决问题．
角度二 利用向量解决力与做功问题
[例6] 一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m．其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
[解] 如图所示，以O为原点，正东方向为x轴的正方向、正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4)．
因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功W＝F·s＝(2－2，2＋4)·(4，4)＝24(J)．
故合力F所做的功为24 J.
运用向量解决力的合成与分解时，实质就是向量的线性运算，因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进行求解．
[跟踪训练]
如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．
解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥.
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.
1．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．5 N D．5 N
解析：选D 两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝eq \r(F＋F＋2F1·F2)＝5(N)．
2．以原点和点A(4，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，则向量的坐标为____________________．
解析：设＝(x，y)，则＝(x－4，y－2)．
由已知
或
故B(1，3)或B(3，－1)．
∴＝(－3，1)或(－1，－3)．
答案：(－3，1)或(－1，－3)
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．
解析：如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，
设＝λ，则点E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E.
故＝，
则||＝ ＝，即ED＝.
答案：
4．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度为________千米/时．
解析：用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度，则v0＋v1表示船实际航行速度．∵|v0|＝4，|v1|＝8，∴|v0＋v1|＝＝4.
答案：4
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