平面向量数量积的坐标表示
[A级 基础巩固]
1．a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57
C．63 D．83
解析：选D 3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D.
2．已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选B 由已知＝(1，1)，＝(－3，3)，所以cos A＝＝＝0，则A＝.故选B.
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B．2
C．4 D．12
解析：选B a＝(2，0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
4．若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
解析：选B ∵＋＝，∴n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
5．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝－b，其坐标为－(1，)＝.故选D.
6．设向量a＝(x＋1，－x)，b＝(1，2)，且a⊥b，则|a|＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，则x＋1＋(－x)×2＝0，解得x＝1，则|a|＝ ＝.
答案：
7．已知a＝(－1，3)，b＝(1，y)．若a与b的夹角为45°，则y＝________．
解析：a·b＝－1＋3y，|a|＝，|b|＝，
∵a与b的夹角为45°，∴cos 45°＝＝＝.
解得y＝2或y＝－(舍去)．
答案：2
8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝________．
解析：设b＝(x，y)．
∵|b|＝ ＝1，∴x2＋y2＝1.
∵a·b＝x＋y＝，∴x2＋[(1－x)]2＝1.
∴4x2－6x＋2＝0.∴2x2－3x＋1＝0.
∴x1＝1，x2＝，∴y1＝0，y2＝.
∵(1，0)是与x轴平行的向量，舍去，∴b＝.
答案：
9．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值．
解：(1)∵a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝ ＝＝.
(2)设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝＝＝.
10．已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
∴＝(1，1)，＝(－3，3)．
又·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，∴AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．
又＝(1，1)，∴解得
∴点C的坐标为(0，5)．
∴＝(－2，4)，＝(－4，2)，
∴||＝2 ，||＝2 ，·＝8＋8＝16.设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
[B级 综合运用]
11．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，梯形所在平面内一点P满足＋＝2，则·＝( )
A．－ B．－1
C．－2 D．－2
解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系，因为AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，所以B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，D(1，2)，所以＝(0，2)，＝(2，0)，因为＋＝2，所以2＝(0，2)＋(2，0)＝(2，2)，故＝(1，1)，故P(1，1)，＝(0，1)，＝(1，－1)，所以·＝0×1＋1×(－1)＝－1.
12．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是( )
A．[0，1] B．[－1，1]
C．[－， ] D．[0， ]
解析：选C 由a，b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，则(a－b)·c＝|a－b||c|·cos θ＝cos θ，∵cos θ∈[－1，1]，∴(a－b)·c的取值范围为[－， ]．
13．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”为m n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．
解析：设q＝(x，y)，则p q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，
∴∴∴q＝(－2，1)．
答案：(－2，1)
14．如图，在△ABC中，·＝0，||＝8，||＝6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．
(1)求·的值；
(2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由．
解：(1)以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意易知|BC|＝10，
则D(0，0)，B(－5，0)，C(5，0)，A，
此时＝，＝(－10，0)，
所以·＝－×(－10)＋×0＝14.
(2)是一个常数．理由如下：设点E的坐标为(0，y)(y≠0)，此时＝，
所以·＝－×(－10)＋×0＝14，为常数，故·的值是一个常数．
[C级 拓展探究]
15.在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？并给出理由．
解：S△OAB＝|x1y2－x2y1|.
理由如下：如图所示，记t＝OA，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量．
过B作OA的垂线BC.因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知BC＝|a·|，
因此，△OAB的面积为S＝AO×BC＝AO×|a·|
＝t×
＝
＝.
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4平面向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角 数学运算
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 逻辑推理
通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．
[问题] 那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？
知识点 平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
(2)|a|2＝x＋y，或|a|＝eq \r(x＋y)；
(3)a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
(4)若a，b为非零向量，则cos θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)) .
1．向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？
提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
2.已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2－y1y2＝0.( )
(3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )
A．{2，3} B．{－1，6}
C．{2} D．{6}
解析：选C ∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故选C.
3．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )
A．11 B．5
C．－14 D．10
解析：选A a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3). 所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A.
平面向量数量积的坐标运算
角度一 数量积的坐标运算
[例1] 已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b)；
(3)若c＝(2，1)，求(a·b)c，a(b·c)．
[解] (1)法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，
∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)∵a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
(3)(a·b)c＝[(－1，2)·(3，2)](2，1)＝(－1×3＋2×2)(2，1)＝(2，1)．
a(b·c)＝(－1，2)[(3，2)·(2，1)]＝(－1，2)(3×2＋2×1)＝8(－1，2)＝(－8，16)．
角度二 数量积的坐标运算在几何图形中的应用
[例2] 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，则·＝________．
[解析] 法一：·＝·＝0＋×22＋×32＋×0＝5.
法二：以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
于是＝(1，2)，＝(3，1)，故·＝5.
[答案] 5
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基底表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．
[跟踪训练]
1．已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则· 等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B 因为＝(2，3)－(1，2)＝(1，1)，＝(－2，5)－(1，2)＝(－3，3)，所以·＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．在△ABC中，B＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．无法确定
解析：选C 法一：·＝·(＋)＝＋·，
∵B＝90°，∴·＝0，
∴·＝＝4.
法二：以B为原点，以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．
则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．
∴＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4.
与平面向量的模有关的问题
[例3] (1)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
(2)已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2，3)同向，||＝2，则点B的坐标是________．
[解析] (1)∵a⊥c，b∥c，∴解得∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.
(2)由题意可设＝λa(λ>0)，∴＝(2λ，3λ)，又||＝2，
∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2，解得λ＝2或λ＝－2(舍去)．
∴＝(4，6)，又A(1，－2)，∴B(5，4)．
[答案] (1)B (2)(5，4)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .
[跟踪训练]
在平面直角坐标系中，O为原点，已知A(16，12)，B(－5，15)，则||＝________，||＝________．
解析：由题意可得||＝＝＝20，||＝＝＝15.
答案：20 15
向量夹角和垂直问题
[例4] (链接教科书第34页例10)(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是____________________；
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为________，||＝________．
[解析] (1)当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，∴要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪.
(2)设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵点D在直线BC上，即BD与BC共线，
∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②
由①②可得即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)，
∴||＝＝.
综上，D(1，1)，||＝.
[答案] (1)∪ (2)(1，1)
[母题探究]
1．(变条件)将本例(1)中的条件“a＝(2，1)”改为“a＝(－2，1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．
解：当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，
此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k<0得k<2，由a与b不反向得k≠－，
所以k的取值范围是∪.
2．(变条件)将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
解：cos ＝＝，即＝，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－或3.
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；
(2)利用|a|＝ 计算出这两个向量的模；
(3)由公式cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))直接求出cos θ的值；
(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.
[跟踪训练]
1．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)．若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4，则M(4，－4)，N(－4，4)．所以向量＝(－8，8)，||＝8.
答案：8
2．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.
故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
设m，n的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即m，n的夹角为.
1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
解析：选B a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
2．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，(a＋b)·c＝，则向量a与c的夹角为________．
解析：∵b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a，∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝.
设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a与c的夹角为.
答案：
3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________．
解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案：8
4．已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)．
(1)求|a＋2b|的值；
(2)若(a＋mb)⊥b，求实数m的值．
解：(1)由已知得a＋2b＝(1，6)，∴|a＋2b|＝.
(2)依题意得a＋mb＝(3－m，2＋2m)，∵(a＋mb)⊥b，
∴(a＋mb)·b＝0，即－1×(3－m)＋2×(2＋2m)＝0，解得m＝－.
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