平面向量数乘运算的坐标表示
[A级 基础巩固]
1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2，6) B．(－2，6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析：选D 由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
2．已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，＝＋m.若点P在y轴上，则实数m的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题，可得＝(－1，3)，＝(3，－7)，所以＝＋m＝(3m－1，3－7m)．又点P在y轴上，所以3m－1＝0，得m＝，故选A.
3．(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：选ABC 只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
4．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：选D 法一：∵a＋2b＝(，－3)，∴×－(－1)×(－3)＝0，∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在△AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，由题意，设C(x，－x)，则＝(x，－x)．又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，所以解得λ＝.
6．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________．
解析：由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－.
答案：－
7．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________．
解析：＝(5，4)，＝(4，a)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故5a－16＝0，所以a＝.
答案：
8．设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________．
解析：∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)．∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．
答案：(3，1)或(1，－1)
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴＝，
∵＝，∴＝.
∵＝(x1＋1，y1)＝，
∴x1＝－，y1＝，
∴E.
∵＝(x2－3，y2＋1)＝，
∴x2＝，y2＝0，∴F，
∴＝
又∵4×－×(－1)＝0，
∴∥.
10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)．
(1)若＝，求D点的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)，则＝(1，－5)，＝(x－4，y－1)．
∵＝，∴(1，－5)＝(x－4，y－1)，
即解得
∴D点的坐标为(5，－4)．
(2)由题意得a＝＝(1，－5)，b＝＝(2，3)，
∴ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)．
∵(ka－b)∥(a＋3b)，
∴4(k－2)＝7(－5k－3)，
解得k＝－.
[B级 综合运用]
11．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(1，－1) D．(－1，1)
解析：选C ∵与是相反向量，∴＝－. 又＝(1，1)，∴＝(－1，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.
12．(多选)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( )
A.与平行 B.＋＝
C.＋＝ D.＝－2
解析：选ACD ＝(2，－1)，＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以与平行，A正确.＋＝≠，所以B不正确.＋＝(0，2)＝，所以C正确.＝(－4，0)，－2＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正确．
13．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则＝________．
解析：由题意，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由(ma＋nb)∥(a－2b)，得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得＝－.
答案：－
14．已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解： (1)∵＝(x，1)，＝(4，x)．
由∥，得x2＝4，x＝±2.
(2)由已知得＝(2－2x，x－1)，
当x＝2时，＝(－2，1)，＝(2，1)，
∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；
当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)，
∴∥，此时A，B，C三点共线．
又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上．
[C级 拓展探究]
15．已知点A(3，1)，B(－1，3)，O是坐标原点，点C满足＝α＋β，其中α，β∈R，且α＋β＝1，求点C的坐标(x，y)满足的关系式．
解：由＝α＋β，得(x，y)＝(3α－β，α＋3β)，
∴∴
∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0.
PAGE
5平面向量数乘运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.掌握数乘向量的坐标运算 数学运算
2.能用坐标表示平面向量共线的条件 逻辑推理
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
[问题] (1)若a∥b，则它们的坐标之间有什么关系？
(2)λa(λ∈R)的坐标与a的坐标之间有什么关系？
知识点一 平面向量数乘的坐标运算
若a＝(x，y)，λ∈R，则：λa＝(λx，λy)．
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________．
解析：因为a＝(2，4)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)．
答案：(5，7)
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
1．a∥b(b≠0) a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
2．a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算．
3．a∥b ＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义．
已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝________．
解析：∵a∥b，∴x＝－4，∴a＋b＝(2，1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．
答案：(－2，－1)
平面向量数乘的坐标运算
[例1] (链接教科书第31页例6、第32页例9)(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标；
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
[解] (1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)；
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)；
3a＝3(－1，2)＝(－3，6)；
2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
(2)由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，
所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，
所以M(0，20)，N(9，2)，＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系；
(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算；
(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
[跟踪训练]
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
解析：选A 由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为________．
解析：设P(x，y)，∴＝(x－3，y＋2)，＝(－8，1)，由＝，得解得即P.
答案：
向量平行(共线)的判定
[例2] (链接教科书第31页例7)(1)下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)
①a＝，b＝(－2，－3)；
②a＝(0.5，4)，b＝(－8，64)；
③a＝(2，3)，b＝(3，4)；
④a＝(2，3)，b＝.
(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？
(1)[解析] ①×(－3)－×(－2)＝－＋＝0，∴a∥b.
②0.5×64－4×(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．
③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．
④2×2－3×＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．
[答案] ①
(2)[解] ＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反．
法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．
向量共线的判定方法
[跟踪训练]
已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(λ，－1)，若c∥(2a＋b)，则λ＝( )
A．－2 B．－1
C．－ D.
解析：选A ∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4，2)．∵c∥(2a＋b)，∴＝，解得λ＝－2.故选A.
三点共线问题
[例3] (链接教科书第32页例8)如图，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解] ∵＝＝(0，5)＝，
∴C.
∵＝＝(4，3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
∵∥，＝，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，∥，
∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
利用向量解决三点共线问题的基本思路是将三点共线转化为两向量共线，即A，B，C三点共线 与共线．方法有两种：(1)看是否存在实数λ，使得＝λ；(2)借助坐标，看与的坐标是否对应成比例或交叉相乘差为0.
[跟踪训练]
知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________．
解析：＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－或k＝1，当k＝1时，A，B重合，舍去，故k＝－.
答案：－
共线向量与线段分点坐标的计算
[例4] 已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P是直线P1P2上一点，且＝λ(λ≠－1)，求点P的坐标．
[解] 设P(x，y)，则＝(x－x1，y－y1)，＝(x2－x，y2－y)．
由＝λ，得(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
于是
因为λ≠－1，所以
因此，点P的坐标为.
若＝λ，则P点位置与λ的取值范围之间的对应关系如下(P0为线段P1P2的中点)：
P点位置 λ的范围
P1P2的延长线上 λ<－1 外分点
P2P1的延长线上 －1<λ<0
与P1重合 λ＝0
P1P0之间 0<λ<1 内分点
与P0重合 λ＝1
P0P2之间 λ>1
与P2重合 λ不存在
[跟踪训练]
若过点P1(2，3)，P2(6，－1)的直线上一点P使||∶||＝3∶1，则点P的坐标为________．
解析：设O为坐标原点，连接OP，OP1，OP2(图略)．
∵||∶||＝3∶1，∴||＝3||，
∴＝3或＝－3.
当＝3，即＝－3时，＝＋＝(8，－3)．
当＝－3，即＝3时，＝＋＝(5，0)．
故点P的坐标为(8，－3)或(5，0)．
答案：(8，－3)或(5，0)
1．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
解析：选A b＝(3，2)－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.
2．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则＋2＝________．
解析：∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，∴＝(2，3)，＝(－3，3)，∴＋2＝(2，3)＋2(－3，3)＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．
答案：(－4，9)
3．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
4．已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
解：设P点坐标为(x，y)，||＝2||.
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(－5，8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5，8).
PAGE
6(共27张PPT)
