向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 数学运算
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ.
[问题] (1)显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
(2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由．
知识点一 向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．其中：
(1)向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π；
(2)当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；
(3)如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b．
若△ABC为等边三角形，则与的夹角为________，与的夹角为________．
答案：60° 120°
知识点二 向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为．
2．投影向量：如图①，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图②，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
1．向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？
提示：不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算结果是向量．
2．已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b<0，则θ是钝角对吗？
提示：不对．若θ＝π时，a·b<0.
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为45°，则a·b＝( )
A．－3 B．－6
C．6 D．2
解析：选C ∵a·b＝|a||b|cos 45°＝3×4×＝6.
2．已知|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为( )
A．60° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
3．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________．
解析：b在a方向上的投影向量为|b|·cos＝2×a＝a.
答案：a
知识点三 向量的数量积的性质及运算律
1．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ；
(2)a⊥b a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝；
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1．向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
2．(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.( )
(3)a·(b·c)＝(a·b)·c.( )
(4)·＋·＝·(＋)＝·.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝( )
A．1 B．－4
C．－ D．
解析：选C 由已知，得e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，∴a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－.故选C.
3．下面给出的关系式中正确的序号是________(填序号)．
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
解析：①②③正确，④⑤错误，|a·b|＝|a||b||cos θ|≥a·b，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.
答案：①②③
向量数量积的运算
[例1] (链接教科书第17页例9)(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)；
(2)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，求·的值．
[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵AD∥BC，且∠DAB＝30°，
∴∠ABE＝30°.
∵EA＝EB，∴∠EAB＝30°，∴∠AEB＝120°.
在△AEB中，EA＝EB＝2，·＝(＋)·(＋)＝－2＋·＋·＋·＝－12＋2×2×cos 30°＋5×2 ×cos 30°＋5×2×cos 180°＝－22＋6＋15＝－1.
1．求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
2．向量的数量积在平面几何中的应用
(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量；
(2)向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，与，与，与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．
[跟踪训练]
1．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝________．
解析：·＝||·||cos(180°－∠BAO)＝－||2，同理，·＝－||2，·＝－||2，∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.
答案：－
2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________．
解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝||·||cos θ.
由图可知，||·cos θ＝||，因此·＝||2＝1.
答案：1
求向量的投影向量
[例2] 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求：
(1)在上的投影向量；
(2)在上的投影向量．
[解] 如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．
又D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2.
延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°.
(1)设与向量方向相同的单位向量为e1，则在上的投影向量是||cos 135°e1＝4×e1＝－2e1.
(2)设与向量方向相同的单位向量为e2，则在上的投影向量是||cos 135°e2＝2×e2＝－2e2.
投影向量的求解策略
求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键．确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”．
[跟踪训练]
已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则向量在上的投影向量的模为( )
A. B．3
C. D．2
解析：选A 如图，∵＋＋＝0，∴＋＝0，∴＝.∴四边形ABOC为平行四边形，又O为△ABC外接圆的圆心，且||＝||＝2，∴△OAB是边长为2的正三角形，∴平行四边形ABOC是边长为2的菱形且∠ABO＝60°.∴||＝2，∠ACB＝30°，故向量在上的投影向量的模为||cos ∠ACB＝2×cos 30°＝.
向量的模
[例3] 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|.
[解] a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝ ＝5.
|a－b|＝＝
＝ ＝5.
求向量模的一般思路及常用公式
(1)求向量模的常见思路
(2)常用公式
①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；
②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
[跟踪训练]
1．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．
解析：令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，且b·e1＝b·e2＝1，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，从而|b|＝＝.
答案：
2．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．
解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.
答案：3
向量的夹角与垂直问题
[例4] (1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角．
(1)[解析] ∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0，
∴2a·b＋|b|2＝0.设a，b的夹角为θ，则2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
又|a|＝|b|，∴2|b|2cos θ＋|b|2＝0，
因此cos θ＝－，从而θ＝120°，故选C.
[答案] C
(2)[解] 如图，在平面内取一点O，作＝a，＝b，使||＝||，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，此时＝a＋b，＝a－b.由于|a|＝|b|＝|a＋b|，
即||＝||＝||，
∴∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°.
∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°.又||＝||，
∴∠OAB＝30°，即a与a－b的夹角为30°.
1．求向量夹角的基本步骤
2．向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
[跟踪训练]
1．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
解析：选A ∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选D ∵(a－mb)⊥a，∴(a－mb)·a＝0，∴a2－ma·b＝0，即9－m×3×2×cos 60°＝0，∴m＝3.
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选B a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.
2．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝＝＝，因为0≤θ≤π，所以a与b的夹角为.故选B.
3．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选C 由＋＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形．
4．已知|a|＝6，|b|＝4，a·b＝12，向量b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是________．
解析：因为a·b＝|a||b|cos θ，所以12＝6×4cos θ，所以cos θ＝，所以向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θe＝6×e＝3e.
答案：3e
5．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，则实数k的值为________．
解析：a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1.
因为2a＋kb与a＋b垂直，
所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0.
所以2a2＋2a·b＋ka·b＋k b2＝0.
所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
答案：－5
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9向量的数量积
[A级 基础巩固]
1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选A 向量－a与－b的夹角与a与b的夹角相等，夹角为60°.
2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
3．若向量a，b满足|b|＝2，a为单位向量，且a与b夹角为θ＝，则b在a上的投影向量为( )
A.a B．－a
C．2a D．－2a
解析：选B |b|cos θa＝2×cos a＝2×a＝－a，即b在a上的投影向量为－a.
4．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．对于任意向量a，b，有|a＋b|≤|a|＋|b|
B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
C．对于任意向量a，b，有|a·b|≤|a||b|
D．若a，b共线，则a·b＝±|a||b|
解析：选ACD 由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当a⊥b时，a·b＝0，故选项B错误；因为|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，故选项C正确；当a，b共线同向时，a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|，当a，b共线反向时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－|a||b|，所以选项D正确．故选A、C、D.
5．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
解析：选D 由条件知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋·(＋)＝·＝－2＝－25.
6．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝________．
解析：根据题意，得|a＋2b|＝ ＝.
答案：
7．已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________．
解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos∠ABC＝||＝||＝×4＝2.
所以·＝||||cos∠ABC＝2×4＝8.
答案：8
8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2 ·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2 ×＝6.
答案： 6
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a·b的值；
(2)求|a＋b|.
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.
(2)由(1)，得|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
10.如图，在平面内将两块直角三角板拼接在一起，已知∠ABC＝45°，∠BCD＝60°，记＝a，＝b.
(1)试用a，b表示向量，；
(2)若|b|＝1，求·.
解：(1)由题意可知，＝a－b，AC∥BD，BD＝BC＝AC.
∴＝b，则＝＋＝a＋b，
＝－＝a＋(－1)b.
(2)∵|b|＝1，∴|a|＝，a·b＝cos 45°＝1，
则·＝a·[a＋(－1)b]＝a2＋(－1)a·b＝2＋－1＝＋1.
[B级 综合运用]
11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
12．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝1 B．a⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1
解析：选CD 分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A错误；(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确．
13．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
14．如图，在△OAB中 ，P为线段AB上一点，则＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解：(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以||＝2.
又因为＝3，所以||＝.
所以||＝＝，cos∠OPB＝.
所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝||||cos θ＝－3.
[C级 拓展探究]
15．已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)若b⊥c，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
解：(1)当b⊥c时，b·c＝0，
即b·c＝xa·b＋(1－x)b2＝0，－5x＋5(1－x)＝0，解得x＝.
(2)c2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝25x2－20x＋5＝25＋1，
当x＝时，|c|取最小值1，此时，c＝a＋b.
设向量a与c的夹角为θ，则a·c＝|a|·|c|cos θ＝a·＝1，解得cos θ＝，
故当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值为.
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4(共43张PPT)
B
M
CA
B, D
b M N
图①
图②
