向量的数乘运算
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义 数学运算
2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义 逻辑推理
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
[问题] 类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？
知识点一 向量的数乘运算及运算律
1．向量的数乘
(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa；
(2)规定：①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝；(－1)a＝－a．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
1．实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？
提示：不能．
2．若向量a是非零向量，则向量与向量a的方向如何？
提示：方向相同．
1.a＋b＋a－4b等于( )
A．2a＋3b B．a－3b
C．2a－3b D．2a－2b
解析：选C 原式＝a＋(1－4)b＝2a－3b.故选C.
2．(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n
解析：选ABD 易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确．
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
a为什么是非零向量？b可以是零向量吗？
提示：若a＝0，则λa＝0，λ不唯一或不存在，b可以是0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)－3a的方向与 6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的(a≠0)．( )
(2)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( )
(3)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数)．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若向量e1，e2不共线，则下列各组中，向量a，b共线的有________．(填序号)
①a＝2e1，b＝－2e1；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b，所以a，b共线；②中，b＝－2a，所以a，b共线；③中，a＝4b，所以a，b共线；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共线．
答案：①②③
向量的线性运算
[例1] (链接教科书第14页例5)化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量线性运算的方法
(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
[跟踪训练]
1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________．
解析：－3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j.
答案：－16i＋j
2．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则向量x＝________．
解析：由题知2x－a－b－c＋x＋b＝0，
∴x＝a－b＋c，
∴x＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
3．已知2a－b＝m，a＋3b＝n，那么a，b用m，n可以表示为a＝________，b＝________．
解析：由2a－b＝m，可得2a－m＝b，代入a＋3b＝n可得a＋3(2a－m)＝n，解得a＝m＋n，代入2a－m＝b可得b＝－m＋n.
答案：m＋n －m＋n
用已知向量表示未知向量
[例2] (链接教科书第14页例6)在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示.
[解] ∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，
∴＝.
法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
法二：∵－＝＝＝(－)，
∴＝＋(－)＝＋＝a＋b.
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？
解：法一：如图，∵＝－，又CD＝BD，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b)．
法二：如图，以AB，AC为邻边作 ABEC，则＝＋.
∵CD＝BD，∴D是AE的中点．
∴＝＝(＋)＝(a＋b)．
用已知向量表示未知向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
[跟踪训练]
1.如图所示， ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C．a＋b D．a－b
解析：选D ＝＋＝＋＝－＝a－b.故选D.
2.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
解：由三角形中位线定理，知DE綉BC，故＝，即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.
向量共线定理及应用
[例3] (链接教科书第15页例7、第16页例8)设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
[解] (1)证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a与b不共线，
∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可；
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．若两向量不共线，必有向量的系数为零．
[跟踪训练]
1．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选B 因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线．故选B.
2．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
解：由于A，B，P三点共线，则，共线，
由共线向量定理可知，必存在实数λ使得＝λ，
即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.
又＝x＋y，∴x＋y＝(1－λ)＋λ，即(x＋λ－1)＝(λ－y)，
∵，不共线，∴x＋λ－1＝0，λ－y＝0，
∴x＝1－λ，y＝λ，则x＋y＝1.
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．故选C.
2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
解析：选D 由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，
即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝λe2－2λe1，
又e1与e2是不共线向量，∴解得
3.如图，平行四边形OADB中，向量＝a，＝b，且＝，＝，试用a，b表示，，.
解：∵＝－＝a－b，
∴＝＝＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝b＋a－b＝a＋b.
由＝＋＝a＋b，得＝＋＝＝a＋b，
＝－＝－＝a－b.
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7(共31张PPT)向量的数乘运算
[A级 基础巩固]
1．在△ABC中，＝＋，则＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 因为＝＋，所以－＝－，即＝，所以＝2，所以＝＝，故选B.
2.－＝( )
A．a－b＋2c B．5a－b＋2c
C．a＋b＋2c D．5a＋b
解析：选A －＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A.
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝( )
A.b B．－b
C.b D．－b
解析：选B ∵b与a的方向相反，∴存在实数λ<0，使a＝λb，∴|a|＝－λ|b|，即5＝－λ×7，∴λ＝－，∴a＝－b.
4．在梯形ABCD中，＝3，则等于( )
A．－＋ B．－＋
C．－＋ D．－－
解析：选A ∵在梯形ABCD中，＝3，∴＝＋＋＝－＋＋＝－＋.故选A.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
解析：选AB 对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．
6．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．
解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.
答案：0
7．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.
解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)，∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8，∴λ＝8.
答案：8
8．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________.
解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝.又与同向，∴＝.
答案：
9．在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
解：法一：如图所示，在 ABCD中，AC交BD于点O，
则点O平分AC和BD.
∵＝3，∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN綉BO，
∴＝＝＝(b－a)．
法二：＝＋＋＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明四边形ABCD为梯形．
解：(1)由题意，有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：由(1)知＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，即＝2.
根据向量数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形．
[B级 综合运用]
11．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a B．b
C．c D．0
解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，m，n∈R，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na，所以(1＋n)a＝(m＋1)c，又a与c不共线，所以m＝－1，n＝－1，故a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.故选D.
12.(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A.－＝
B.＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D.＝＋
解析：选ABC 对于A，－＝＝，所以A正确；对于B，＋＋＋＝0，所以B正确；对于C，易知△OCD∽△OBA，所以＝＝，即＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|0，所以C正确；对于D，＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故D不正确．故选A、B、C.
13.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－，＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ(0≤λ≤1)，则m－＝λ－λ，
即(λ－m)＝，
∵，不共线，∴
∴m＝λ＝.
答案：
14．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
证明：因为＝，＝＝(＋)，所以＝－＝＋－＝－，①
＝－＝－，②
由①②可知＝3，所以与共线且有公共点M，所以M，N，C三点共线．
[C级 拓展探究]
15.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，并判断＋与＋的关系；
(2)受(1)的启发，如果点A1，A2，A3，…，An－1是AB的n(n≥3)等分点，你能得出什么结论？证明你的结论．
解：(1)＝＋＝＋＝＋＝＋＝a＋b.
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴＋＝＋＝a＋b，
即＋＝＋.
(2)结论：＋＋…＋＝·(a＋b)．
证明：先证明＋＝＋(1≤k≤n－1，n，k∈N*)，
＝＋， ＝＋，
∵与是相反向量，
∴＋＝0，
∴＋＝＋.
记S＝＋＋＋…＋＋，
又S＝＋＋…＋＋，
∴2S＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝(n－1)(＋)，
∴S＝(＋)，
∴＋＋…＋＝(a＋b)．
(结论：＋＝＋＝…＝＋也正确，证明略)
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