(共30张PPT)向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义 数学抽象、直观想象
如图，向量是向量与向量x的和．
[问题] 你能作出向量x吗？
知识点一 相反向量
1．定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．
2．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0；
(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；
(3)零向量的相反向量仍是零向量．
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．( )
(2)向量与是相反向量．( )
(3)相反向量是共线向量．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互为相反向量的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选C 向量与的模相等，方向相反，互为相反向量．
知识点二 向量的减法
1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示．
3．几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
1．两个向量差的起点是怎样的？差向量的方向如何？
提示：起点是减向量的终点；方向是指向被减向量的终点．
2．在向量减法的定义中，如果从a的终点指向b的终点作向量，所得向量是什么？
提示：b－a.
1．在△ABC中，若＝a，＝b，则＝( )
A．a B．a＋b
C．b－a D．a－b
解析：选D ＝－＝a－b. 故选D.
2．化简－＋所得的结果是( )
A. B.
C．0 D.
解析：选C －＋＝＋＝0.故选C.
向量减法及其几何意义
[例1] (链接教科书第12页例3)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
关于向量的减法
(1)作两向量的差向量的步骤：
(2)求两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可；
(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．
[跟踪训练]
如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作：
(1)向量b＋c－a；
(2)向量a－b－c.
解：(1)以OB，OC为邻边作 OBDC，如图，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，以OB，OC为邻边，作 OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝－＝a－(b＋c)＝a－b－c.
向量的减法运算
[例2] (链接教科书第13页练习2题)化简：(1)－－；
(2)(－)－(－)．
[解] (1)法一：－－＝－＝.
法二：－－＝－(＋)＝－＝.
法三：－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.
(2)法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
法三：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
[跟踪训练]
化简：(1)－－＋＋；
(2)(＋＋)－(－－)．
解：(1)－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)＝＋＋－＋＋＝(＋)＋(－)＋(＋)＝＋＋0＝0.
向量加减运算几何意义的应用
角度一 利用已知向量表示未知向量
[例3] 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
[解] 由平行四边形的性质可知＝＝c，由向量的减法可知：＝－＝b－a，由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c.
[母题探究]
(变条件)若本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”变为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c.
角度二 求解或证明几何问题
[例4] 已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为________．
[解析] 如图，＝a，＝b，则||＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作 OACB，则||＝|a＋b|.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，
所以△OAB是以∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，
所以 OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
[答案] 4
利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤
(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；
(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算；
(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题．
[跟踪训练]
如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知＝a，＝b，＝c，＝e，用a，b，c，e表示向量.
解：在△OBE中，有＝＋＝e－c，
在△ABO中，＝＋＝e－c－a，
在△ABD中，＝＋＝a＋b，
所以在△OAD中，＝＋＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b.
1．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a－b
C．a－b D．b－a
解析：选B ＝－＝－a－b.
2.如图，在△ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是( )
A.－＝
B.－＝
C.－＝0
D.－＝
解析：选C ，是相反向量，它们的和是零向量，但－＝≠0.
3．化简：＋－－＝________．
解析：＋－－＝＋－(＋)＝－＝0.
答案：0
4.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；
(3)－；(4)＋；
(5)－.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.
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6向量的减法运算
[A级 基础巩固]
1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a与b的长度必相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
解析：选C 根据相反向量的定义可知，C错误，因为0与0互为相反向量，但0与0相等．故选C.
2．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必与a同向 B．必与b同向
C．必与a是平行向量 D．与b不可能是平行向量
解析：选C 向量a与b同向，当|a|>|b|时，a－b与a和b同向；当|a|<|b|时，a－b与a和b反向；当|a|＝|b|时，a－b＝0.综上可知a－b必与a和b是平行向量．故选C.
3.如图，已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b
B．b－a
C．c－b
D．b－c
解析：选D ＝＝－＝b－c.
4．(多选)下列结果为零向量的是( )
A.－(＋) B.－＋－
C.－＋ D.＋＋－
解析：选BCD A项，－(＋)＝－＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项，＋＋－＝＋＝0.故选B、C、D.
5．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B 如图，∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．∴＋＝，－＝.由已知|＋|＝|－|.∴||＝||.又∵对角线相等的平行四边形为矩形．故选B.
6．向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是________(填序号)．
解析：①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝.
答案：①④
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8．边长为1的正三角形ABC中，|－|＝________
解析：如图延长AB到D，使AB＝BD.
∴＝，∴|－|＝|－|＝||.∵△ABC为边长为1的正三角形．∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴||＝ ＝，∴|－|＝.
答案：
9.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a；
(2)＝－＝－－＝－b－c；
(3)＝＋＋＝e＋a＋b；
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
10.如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c.试求|a＋b＋c|.
解：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.
∵＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.
[B级 综合运用]
11．(多选)给出下面四个推论，其中正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B．若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC
解析：选AD A中，＝＋恒成立，故A正确；B中，在△ABC中，＝＋，但AC
12．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部
B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上
D．点P在直线AC上
解析：选D ∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝＋，－＝，即＝.故点P在边AC所在的直线上．
13．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________．
解析：因为＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，AB＝AD，
所以△ABD为等边三角形．
又因为||＝2，所以OB＝1.
在Rt△AOB中，||＝ ＝，
所以||＝2||＝2 .
答案：2
14．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P保持平衡，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后保持平衡，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．
＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
[C级 拓展探究]
15.如图，在 ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝.
∵a＋b与a－b所在直线互相垂直，∴AC⊥BD.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
∵矩形的两条对角线相等，
∴当a与b所在直线互相垂直，即AD⊥AB时，满足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能．∵ ABCD的两条对角线不可能平行，∴a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．
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