向量的加法运算
[A级 基础巩固]
1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
解析：选D 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．
2．(多选)已知向量a∥b，且a≠－b，则向量a＋b的方向可能( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．与向量b的方向相反
解析：选ABCD ∵a∥b，且a≠－b，∴a与b共线，它们的和的方向可能与a同向或反向，与b同向或反向．
3.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )
A．0 B.
C. D.
解析：选A ∵＝，∴＋＋＝＋＋＝0.
4．下列说法：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；②正确；③错误，A，B，C三点共线时也可满足；④错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.
5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 在原图上取点M，使＋＝，如图所示，而＝.故选C.
6．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于________．
解析：(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
7.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________．
解析：＋＋＝＋＋＝.
答案：
8．某人在静水中游泳，速度为4 km/h. 如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，则此人实际沿________的方向前进，速度为________．
解析：如图所示，∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.
答案：与水流方向成60° 8 km/h
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|的值．
解：∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又||＝||＝1，
∴四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，0°<∠DAB<180°，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，
|＋|＝||＝||＝1.
10.如图，已知 ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
(1)＋；
(2)＋.
解：如图所示，(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．
(2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求．
[B级 综合运用]
11．(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
解析：选AC 由条件得：(＋)＋(＋)＝0＝a.故选A、C.
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．点P在△ABC的内部
B．点P在△ABC的边AB上
C．点P在AB边所在的直线上
D．点P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．故选D.
13．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为________．
解析：因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.
答案：[0，3]
14．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.如图所示．
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时取得||即|a＋e|的最大值，最大值是3.
[C级 拓展探究]
15.如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于点A，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．它能否从点A走到与它相邻的点B？它能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点？
解：若开始位于A点，由“马”走“日”可知它的第一步有3种可能的走法(点C，D，E)．它能从A走到与它相邻的点B，如A→C→F→B(不唯一)，它能走到棋盘上的其他任何一个交叉点．
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4向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义 数学抽象，直观想象
如图所示，李敏同学上午从家(点A)到达了公园(点B)，下午从公园(点B)到达了舅舅家(点C)．
[问题] (1)分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
(2)这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1．向量加法的定义：求两个向量的运算，叫做向量的加法．
2．向量求和的法则
三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝，＝，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，作＝，＝，以OA，OB为邻边作 OACB，则对角线上的向量＝a＋b
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质
(1)区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；
②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
(2)实质：三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的．
两个向量的和还是向量吗？
提示：是．
1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D ＋＝.故选D.
2．在矩形ABCD中，＋＝________．
解析：根据向量加法的平行四边形法则知，＋＝.
答案：
知识点二 向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝b＋a a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0＋a＝a＋0＝a.( )
(2)＋＝0.( )
(3)a＋(b＋c)＝c＋(a＋b)．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D 由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a＋b＋c相等．
3．化简＋＋＝________．
解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
答案：0
知识点三 |a＋b|与|a|，|b|之间的关系
对任意两个向量a，b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
如果||＝8，||＝5，那么||的最大值为________．
答案：13
求作向量的和
[例1] (链接教科书第8页例1)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
[解] (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b.如图所示．
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB，则＝a＋b.如图所示．
求作和向量的方法
(1)利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和．一定要注意首尾相接；
(2)利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和．
[跟踪训练]
如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，以OB，OC为邻边作 OBDC，则＝a＋b＋c.
向量的加法及运算律
[例2] 化简：(1)(＋)＋(＋)；
(2)＋＋＋＋.
[解] (1)法一：(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
法二：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝.
(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋＝0.
向量加法运算的几个注意点
(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0；
(2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
[跟踪训练]
1．向量＋＋＋＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 向量＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.故选A.
2.如图，四边形ABDC为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD，CD＝2AB，E为CD的中点．试求：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋.
解：由已知得四边形ACEB，四边形ABDE均为平行四边形．
(1)＋＝；
(2)＋＋＝＋＝；
(3)＋＋＋＝＋＋
＝(＋)＋
＝＋＝＋＝0.
向量加法的实际应用
[例3] (链接教科书第9页例2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
[解] 作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10 m/min，||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，∴α＝60°.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．
[母题探究]
1．(变条件)本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角)．
解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，||＝|v水|＝10 m/min，
则tan∠BAC＝＝2，即为所求．
2．(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km
解：由题意可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，
则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km)．
向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量；
(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
[跟踪训练]
一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
解：如图所示，设，分别是直升飞机两次的位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km.
在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处．
向量加法三角形法则的推广
2018年7月18日，在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛，在最终决赛中，中国浙江大学队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军．机器人在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断．
在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走的路线如图①，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向旋转角α，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向旋转角α，按直线向前行进1米，……，最终回到起点．
成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图③的路线组织传球，又进了一球．最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器人足球世界杯冠军！
[问题探究]
1．当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请作图说明(假设机器人跳1步为1米)．
提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n(n∈N*)步时，射手的位移为零．
2．要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？
提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零．按上述方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角和定理可得n(180°－α)＝(n－2)·180°，解得α＝，且n≥3，n∈N*.故α应满足的条件为α＝，且n≥3，n∈N*.
[迁移应用]
甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小．
解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为＋＋＝，故球的最终位移为，依题意知△ABC为正三角形，故||＝||＝AC＝2 m.
又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以||＝ m.
1．正方形ABCD的边长为1，则|＋|＝( )
A．1 B.
C．3 D．2
解析：选B 在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝.
2．化简＋＋等于( )
A. B.
C．0 D.
解析：选D ＋＋＝＋＝.
3.(多选)如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是( )
A.＋＝
B.＋＋＝0
C.＋＝
D.＋＝
解析：选ABC A、B显然正确；＋＝＝，C正确；由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝≠，D不正确．
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求：
(1)|a＋b|；
(2)指出向量a＋b的方向．
解：(1)如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以|a＋b|＝||＝＝8 km .
(2)因为|a|＝|b|，所以∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．
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E
D
P
图①
图②
