向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
新课程标准解读 核心素养
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景 数学抽象
2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象
3.理解共线向量和相等向量的含义 直观想象
我们在物理学中已经知道，力是矢量(既有大小，又有方向)，如图，放在水平桌面上的物体A.
[问题] (1)物体A受到哪些力的作用？
(2)物体A受到的力应怎样表示？
知识点一 向量的定义与表示
1．定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．表示方法：(1)几何表示法：用以A为起点，B为终点的有向线段表示；
(2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母，，，….
3．向量的模：向量的大小叫做向量的长度(或模)，如a，的模分别记作|a|，||.
数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等都是数量；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．
海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？
提示：海拔不是向量，它只有大小没有方向．温度也是只有大小没有方向，不是向量．海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说，不是指方向．
1．下列量不是向量的是( )
A．力 B．速度
C．质量 D．加速度
答案：C
2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
答案：D
3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝( )
A．1 B.
C．2 D．2
答案：C
知识点二 特殊的向量
1．零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．
2．单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
3．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b．
4．平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量a平行于b，记作a∥b．规定：零向量与任意向量平行．
1．零向量的长度为0，方向不确定．
2．单位向量只规定了向量的大小(模长为1)，并没有规定向量的方向，所以同一起点的单位向量有无数个，它们的终点构成一个单位圆．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0和0相同且0没有方向．( )
(2)有向线段的三要素为起点、方向、长度．( )
(3)如果||>||，那么>.( )
(4)若a，b都是单位向量，则a＝b.( )
(5)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．下列关于向量的说法中，正确的是( )
A．长度相等的两向量必相等
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
答案：C
3．下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
答案：C
向量的有关概念
[例1] (多选)下列说法中正确的有( )
A．单位向量的长度大于零向量的长度
B．零向量与任一单位向量平行
C．向量和向量长度相等
D．向量就是有向线段
[解析] 单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任意向量平行，B正确；因为向量和向量是方向相反，模相等的两个向量，C正确；向量是用有向线段来表示的，不能把两者等同起来，D不正确．
[答案] ABC
1．判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小；
(2)有方向．两个条件缺一不可．
2．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
[提醒] 两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等．
[跟踪训练]
下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．共线向量一定在同一直线上
C．若|a|<|b|，则aD．单位向量的长度为1
解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行；B中，共线向量不一定在同一直线上；C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小；显然D正确．故选D.
相等向量与共线向量
[例2] (链接教科书第4页例2)如图，在矩形AFDC中，AC＝2AF，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)分别找出与，共线的向量；
(2)分别找出与，相等的向量．
[解] (1)依据图形可知，，与方向相同，，，与方向相反，
所以与共线的向量为，，，，.
同理，与共线的向量为，，.
(2)，与方向相同，且长度相等，
所以与相等的向量为，.
同理，与相等的向量为.
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量；
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．
[跟踪训练]
在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，是否存在：
(1)共线向量？
(2)相反向量？
(3)相等的向量？
(4)模相等的向量？
若存在，分别写出这些向量．
解：由图形可知：(1)a∥d，b∥e，即a与d，b与e共线；
(2)a＝－d，即a与d是相反向量；
(3)不存在相等的向量；
(4)|a|＝|c|＝|d|，即a，c，d的模相等.
向量的表示及应用
[例3] (链接教科书第3页例1)在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时，它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出，，；
(2)求||.
[解] (1)如图所示，作出，，.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC＝400 km，所以||＝400 km.
[母题探究]
(变设问)在本例的四边形ABCD中，是否一定有＝？
解：是．因为AB与DC平行且相等，与的方向也相同，所以＝.
准确画出向量的方法和注意事项
(1)方法：①确定向量的起点；
②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点．
(2)注意事项：用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
[跟踪训练]
1．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．正方形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：选D 由＝可知AB∥DC，且||＝||，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，所以平行四边形ABCD为菱形．故选D.
2．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地距A地多远？
解：如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则||＝1 400 km.
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则||＝1 400 km.
所以为飞机从A地到C地的位移．
在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，
故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400 km.
60°－15°＝45°，所以C地在A地北偏东45°方向上，距离A地1 400 km.
1．如图，在圆O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等向量
解析：选C 由题图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆O的半径．故选C.
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
B．若向量，满足||>||，且与同向，则>
C．若a≠b，则a与b可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则＝
解析：选AC 对于A选项，A，B，C，D四点共线 向量与共线，反之不成立，所以A说法正确；对于B选项，向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，故B说法错误；对于C选项，不相等的向量可能共线，故C说法正确；对于D选项，平行向量不一定是相等向量，故D说法错误．综上所述，选A、C.
3．下列说法正确的个数为( )
①零向量没有方向；
②向量的模一定是正数；
③与非零向量a共线的单位向量是唯一的．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①错误．零向量有方向，它的方向是任意的；②错误．|0|＝0；③错误．与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向．故选A.
4．(多选)如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是完全相同的菱形，则下列结论中一定成立的是( )
A．||＝|| B.与共线
C.与共线 D.＝
解析：选ABD 由题意可知AB＝EF，AB∥CD∥FG，CD＝FG，而∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以A、B、D一定成立，C不一定成立．故选A、B、D.
5．在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么．
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等．如图中的b即为所作向量．
(2)c如图所示．由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆．
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7(共32张PPT)向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
[A级 基础巩固]
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；∠AOB的两条边只有方向，没有大小，故②不是向量；④是向量．故选B.
2．下列说法正确的是( )
A．零向量没有方向
B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模等于0
D．单位向量都相等
解析：选C 零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模等于0，故C选项正确；单位向量的模相等，对于任意两个单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选C.
3．(多选)下列能使a∥b成立的是( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
解析：选ACD 对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：选D ∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝.
5．已知集合A＝{b|b是与a共线的向量}，B＝{b|b是与a长度相等的向量}，C＝{b|b是与a长度相等且方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题为假命题的是( )
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．A∩B {a}
解析：选B 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以选B.
6．下列叙述：
(1)单位向量都相等；
(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
(4)方向不同的两个向量一定不平行．
其中正确的有________．(填所有正确的序号)
解析：(1)错误．单位向量的模都相等，但是方向不一定相同．
(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．
(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．
(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．
答案：(2)
7．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有__________个元素．
解析：根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．
答案：12
8.如图是3×4的格点图(每个小方格都是边长为1的正方形)，若向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．
解析：由题意，知与平行且模为的向量共有24个．
答案：24
9．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.
(2)与相等的向量是，.
(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.
10．在如图所示的坐标纸上(每个小方格都是边长为1的正方形)画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向．
解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．
又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，如图所示．
[B级 综合运用]
11．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
解析：选C 由于||＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C.
12.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
解析：选ABC 与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选A、B、C.
13.如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
解析：(1)与向量相等的向量有，；(2)与向量共线，且模相等的向量有，，，，；(3)与向量共线，且模相等的向量有，，，，.
答案：(1)， (2)，，，，(3)，，，，
14．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)作出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置．
解：(1)向量，，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴||＝||且AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位置为北偏东60°方向，距离为6千米．
[C级 拓展探究]
15．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1 m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1 m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1 m……按此方向继续操作下去．
(1)作图说明当α＝45°时，最少转向几次可使赛车的位移为零；
(2)按此方法操作，试写出三种赛车能回到出发点的情况．
解：记出发点为A.
(1)当α＝45°时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，赛车所行路程是8 m，最少转向7次可使赛车的位移为零．
(2)(答案不唯一)当α＝120°时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行路程为3 m，最少转向2次可使赛车回到出发点；
当α＝90°时，如图③，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为4 m，最少转向3次可使赛车回到出发点；
当α＝60°时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6 m，最少转向5次可使赛车回到出发点．
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