频率的稳定性 随机模拟
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，会用频率估计概率 数学抽象、数据分析
2.了解随机数的意义，会用模拟方法估计概率，理解用模拟法估计概率的实质 数学建模
投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是.很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地．为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在处，即正面和反面出现的概率都为.
[问题] 你认为频率与概率之间有什么关系？
知识点一 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
频率和概率可以相等吗？
提示：可以相等．但因为每次试验的频率为多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解析：选D “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”．故选D.
2．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．
解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．
答案：50
知识点二 随机模拟
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数；
(2)构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．
1．用抛质地均匀的硬币的方法可产生________个随机数，抛质地均匀的骰子可产生________个随机数．
答案：2 6
2．在用随机模拟方法解决“盒中仅有4个白球和5个黑球，从中取4个，求取出2个白球2个黑球的概率”问题时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因为是摸出4个球，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4 678”，则它代表的含义是__________________．
解析：分析题意，易知数字4代表白球，数字6，7，8代表黑球，因此这组随机数的含义为摸出的4个球中，只有1个白球．
答案：摸出的4个球中，只有1个白球
用频率估计概率
[例1] (链接教科书第253页例1)某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
[解] (1)表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[跟踪训练]
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解：(1)厨余垃圾投放正确的概率为
＝＝.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量，
即P(A)＝＝0.3.
游戏的公平性
[例2] (链接教科书第253页例2)有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由．
[解] (1)记甲、乙摸出的数字为(x，y)，则共有16种情况，
则x>y的有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6种情况，故甲获胜的概率为＝.
(2)不公平．理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有(4，4)，(3，3)，(2，2)，(1，1)，共4种情况，
故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
[跟踪训练]
有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解：(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．
用随机模拟估计概率
[例3] (链接教科书第256页例3、例4)一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
[解] 用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[跟踪训练]
已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采取随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431
257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为________．
解析：由题意知，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，
∴所求概率为＝.
答案：
探究统计与概率的综合问题
天安门广场国旗的升降时间是根据北京的日出日落时间确定的，具体时间是由北京天文台的天文学家专门计算的．早晨，当太阳的上部边缘与天安门广场所见地平线相平时，为升旗时间．国旗的降旗时间分为逐渐推迟和逐渐提前两个时段．遇到阴天、雨天或雪天，升旗和降旗的时间与前一天相同．每个月第一天，天安门广场升旗时由军乐队奏国歌，整个升旗持续时间为2分零7秒．下表是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表.
日期 升旗时刻 日期 升旗时刻
1月1日 7：36 5月15日 5：00
1月23日 7：30 6月9日 4：45
2月5日 7：15 6月16日 4：45
2月21日 7：00 6月21日 4：45
3月3日 6：45 8月20日 5：30
3月13日 6：30 9月5日 6：45
3月22日 6：15 10月6日 6：15
4月10日 5：45 10月21日 6：30
4月20日 5：30 11月3日 6：45
5月1日 5：15 12月18日 7：30
将表中的升旗时刻化为分数后作为样本数据.
[问题探究]
1．请完成下面的频率分布表及频率分布直方图.
分组 频数 频率
4：00～4：59 3
5：00～5：59 0.25
6：00～6：59
7：00～7：59 5
合计 20
提示：频率分布表及频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
4：00～4：59 3 0.15
5：00～5：59 5 0.25
6：00～6：59 7 0.35
7：00～7：59 5 0.25
合计 20 1.00
2．若甲学校从上表日期中随机选择一天观看升旗．试估计甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率．
提示：由表知，甲学校从20次升旗日期中随机选择一天观看升旗，观看升旗的时刻早于6：00的为8次，利用频率估计概率，可知甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率约为＝0.4.
[迁移应用]
若甲、乙两个学校各自从表中五月、六月的日期中随机选择一天观看升旗，求两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率．
解：由题中表知，五月、六月的升旗日期中不早于5：00的时间有2次，两个月一共升旗5次．
设按表中五月、六月的日期先后顺序，甲校选择一天观看升旗分别为a1，a2，a3，a4，a5，乙校选择一天观看升旗分别为b1，b2，b3，b4，b5，则甲、乙两个学校观看升旗的时刻的样本空间Ω＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a4，b1)，(a5，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(a4，b2)，(a5，b2)，(a1，b3)，(a2，b3)，(a3，b3)，(a4，b3)，(a5，b3)，(a1，b4)，(a2，b4)，(a3，b4)，(a4，b4)，(a5，b4)，(a1，b5)，(a2，b5)，(a3，b5)，(a4，b5)，(a5，b5)}，共有25个样本点．
设两校观看升旗的时刻均不早于5：00为事件A，则A包含4个样本点，即(a1，b1)，(a2，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，
所以P(A)＝，即两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率为.
1．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次．若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近0.8
解析：选B 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为＝.
2．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品，则≈0.95，所以n≈1 000.
答案：1 000
3．某制造商2020年8月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组 频数 频率
[39.95，39.97) 10
[39.97，39.99) 20
[39.99，40.01) 50
[40.01，40.03] 20
合计 100
(1)请将上表补充完整；
(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率．
解：(1)
分组 频数 频率
[39.95，39.97) 10 0.1
[39.97，39.99) 20 0.2
[39.99，40.01) 50 0.5
[40.01，40.03] 20 0.2
合计 100 1.0
(2)标准尺寸是40.00 mm，若要使误差不超过0.03 mm，则直径落在[39.97，40.03]内．
由(1)中表知，直径落在[39.97，40.03]内的频率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9，所以这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.9.
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10(共34张PPT)
频率/组距
0.35
TITIT
0.25
0.15
0.05
O45678
升旗时刻(数据)
↑频率/组距
0.35
025卜--
0.15
0.05
O45678
升旗时刻(数据)频率的稳定性 随机模拟
[A级 基础巩固]
1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
解析：选D 随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
2．我国古代数学有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)．现抽取一把米，取得235粒米中夹批n粒，若这批米合格，则n不超过( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 由题意得，≤3%，解得n≤7.05，所以若这批米合格，则n不超过7.
3．(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题有( )
A．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是
B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
解析：选CD A、B混淆了频率与概率的区别，A、B错误；C正确；在D中，频率是概率的估计值，D正确．故选C、D.
4．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为( )
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
解析：选B 次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.
5．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解析：选ACD A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝.
6．鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．
解析：由≈得N＝.
答案：
7．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：P＝＝0.03.
答案：0.03
8．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：
812 832 569 683 271 989 730 537 925 907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率约为________．
解析：由10组随机数知，恰有4～9中三个随机数的有569，989两组，故所求的概率约为＝0.2.
答案：0.2
9．为了解某种产品的质量，从一大批产品中抽出若干批进行质量检查，结果如下：
抽取个数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各批产品中优等品的频率，把上表补充完整；
(2)从这一大批产品中随机抽取1个，则抽到优等品的概率约是多少？
解：(1)
抽取个数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)由(1)知，随着抽取个数的增加，频率都在常数0.95附近摆动，所以从这一大批产品中随机抽取1个，抽到优等品的概率约是0.95.
10．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理可得，
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
因此，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
[B级 综合运用]
11．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
游戏1 游戏2 游戏3
3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
解析：选D 游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．故选D.
12．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．
答案：60
13．通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________，四次射击全都击中目标的概率约为________．
解析：表示三次击中目标的分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝0.25.四次全击中有4422，3346两组，概率约为＝＝0.1.
答案：0.25 0.1
14．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000(部)，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部)，
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部)，
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
[C级 拓展探究]
15．现有某种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食附赠玩具A，B，C中的一个．对某零售店售出的100袋零食中附赠的玩具类型进行追踪调查，得到以下数据：
BBABC ACABA AAABC BABAA CAAAB
ABCCC BCBBC CABCA BACAB BCBCB
BCCCA BCCAA BCCCB ACCBB BACAB
ACCAB BBBAA CABCA BCBBC CABCA
(1)能否认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同？请说明理由；
(2)假设每袋零食随机附赠玩具A，B，C是等可能的，某人一次性购买该零食3袋，求他能从这3袋零食中集齐玩具A，B及C的概率P.
解：(1)答案一：能．
理由如下：
假设购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同，此时购买一袋该零食获得每一款玩具的概率均为.
对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的频率分别是32%，35%，33%，与假设中的概率非常接近，故可以认为假设成立，即能够认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同．
答案二：不能．
理由如下：
对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的频率分别是32%，35%，33%，其中35%－32%＝3%，差别较大，故不能够认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同．
(2)据题设知，将其购买的第一袋、第二袋、第三袋零食中附赠的玩具按顺序列出，可知共有27种不同的可能，即AAA，AAB，AAC，ABA，ABB，ABC，ACA，ACB，ACC，BAA，BAB，BAC，BBA，BBB，BBC，BCA，BCB，BCC，CAA，CAB，CAC，CBA，CBB，CBC，CCA，CCB，CCC.其中，可集齐三种玩具的情况共有6种(以下划线形式标出)，而每种可能出现的机会相等．根据古典概型的概率计算公式知他能从这3袋零食中集齐玩具A，B及C的概率P＝＝.
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