概率的基本性质
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解概率的性质 数学抽象
2.掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则 数学建模
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.
[问题] 甲获胜的概率是多少？
知识点 概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝，P( )＝．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A B，那么P(A)P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．当A与B互斥(即AB＝ )时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
2．一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
3．P(A)＋P(A)＝1.
设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任一事件的概率总在(0，1)内．( )
(2)不可能事件的概率不一定为0.( )
(3)必然事件的概率一定为1.( )
(4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是5或6”的概率是＋＝.
3．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝________．
解析：因为A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.
答案：0.8
4．事件A与B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，则P(A∪B)＝________．
解析：因为A与B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.5＝0.7.
答案：0.7
互斥事件、对立事件的概率
[例1] (链接教科书第241页例11)某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
[解] 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.3＋0.1＝0.4.
含“至多”“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
[跟踪训练]
1．某运动员射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95，则的概率＝________；若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率＝________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率＝________.
解析：P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
依据题意，事件C与事件B是对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.
依据题意，事件C是事件D与事件的和事件，且事件D与事件互斥，故P(C)＝P(D)＋P()，
故P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.
答案：0.05 0.3 0.25
2．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
互斥事件与对立事件概率的综合问题
[例2] (链接教科书第241页例12)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
[解] 记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则
P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
法一：由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，
所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
求复杂互斥事件概率的2种方法
直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和
间接法 先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法
[跟踪训练]
1.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，
则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，
∴P(E)＝1－P()＝1－＝.
2．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别为多少．
解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，显然事件A，B，C，D彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝ ①，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝ ②，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝ ③.
由事件A和事件B＋C＋D是对立事件可得
P(A)＝1－P(B＋C＋D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝ ④.
联立②③④可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝.
2．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于( )
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．1
解析：选A ∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
3．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率是________．
解析：设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝0.85＋0.74－0.63
＝0.96.
答案：0.96
4．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事
件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
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7概率的基本性质
[A级 基础巩固]
1．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
解析：选C 因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.
2．(多选)在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件．以下结论正确的是( )
A．P(A)＝P() B．P(A＋)＝1
C．若P(A)＝1，则P()＝0 D．P(A)＝0
解析：选BCD 由对立事件的性质P(A)＋P()＝1，P(A)＝P()不一定正确，故A错误；由对立事件的概念得A＋＝Ω，即P(A＋)＝P(Ω)＝1，B正确；由对立事件的性质P(A)＋P()＝1知，P(A)＝1－P()，故若P(A)＝1，则P()＝0，C正确；由对立事件的概念得A＝ ，即P(A)＝P( )＝0，D正确．故选B、C、D.
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
解析：选D 从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.显然事件A，B，C两两互斥，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3.
4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意可得
即解得
5．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率( )
A．颜色全同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
解析：选B 试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，其中包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为＝＝1－，所以是事件“颜色不全同”的概率．
6．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．
解析：由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，
∴摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.
答案：0.81
7．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为________．
解析：设事件A＝{3人中至少有1名女生}，事件B＝{3人都是男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.
答案：
8．甲、乙两人下围棋，已知甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲不输的概率为________，乙胜的概率为________．
解析：记事件A＝{甲获胜}，事件B＝{甲、乙平局}，事件C＝{甲不输}，则C＝A＋B，而事件A，B是互斥事件，故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.55.设事件D＝{乙获胜}，则D＝，∴P(D)＝P()＝1－P(C)＝0.45.
答案：0.55 0.45
9．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
解：记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C，“响第四声时被接”为事件D.“响前四声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D两两互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率加法公式得，
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
即电话在响前四声内被接的概率是0.9.
10．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.用y1，y2分别表示甲、乙抽到的题目，则数组(y1，y2)可表示样本点．样本空间的样本点个数为20.
设A＝“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则A＝{(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)}，共6种；
B＝“甲抽到判断题，乙抽到选择题”，则B＝{(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)}，共6种；
C＝“甲、乙都抽到选择题”，则C＝{(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)}，共6种；
D＝“甲、乙都抽到判断题”，则D＝{(p1，p2)，(p2，p1)}，共2种．
易知A，B，C，D两两互斥．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为P(A)＝＝，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为P(B)＝＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为P(D)＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
[B级 综合运用]
11．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.故选C.
12．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果，则这个数至少要用8根小木棍的概率为( )
A. B.
C. D．
解析：选D 至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况．用5根小木棍为1、2、6这一种情况，组成三位数包括6个样本点，用6根有1、2、3，1、2、7，1、6、3，1、6、7这四种情况，同理，每种情况包括6个样本点，共24个样本点．用7根有1、2、4，1、2、8，1、6、4，1、6、8，1、3、7，2、6、7，2、6、3这七种情况，同理，共42个样本点．
故至少要用8根小木棍的概率为1－＝.故选D.
13．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表：
医生人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
若派出医生不超过2人的概率为0.56，则x＝________，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则y＝________．
解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
答案：0.3 0.2
14．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
[C级 拓展探究]
15．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
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