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O5060708090100成绩古典概型
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解古典概型 数学抽象
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学运算
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜．于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的．因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色．
[问题] 您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
知识点 古典概型
1．事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型的定义
试验E具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等．
1．掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等．
2．若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不一定．还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点．( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点个数是________．
解析：从装有红白两球的袋中有放回的取出，所有取法有：
共8个样本点．
答案：8
3．从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝________．
解析：从1，2，3中任取两个数字，所有可能的结果有：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)＝.
答案：
古典概型的判断
[例1] 判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
(1)从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
(2)从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
(3)向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率．
[解] 根据古典概型的特征进行考虑，(1)(3)中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．(2)从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故(2)为古典概型．
判断一个试验是不是古典概型的步骤
(1)明确试验及其结果；
(2)判断所有结果(即样本点)是否有限；
(3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言．
[跟踪训练]
某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
古典概型的计算
角度一 求“无序抽取”型古典概型的概率
[例2] 在大小、质地完全相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？
[解] 设白球标号为1，2，3，4，红球标号为5，6，从6个球中任选3球的样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共20个样本点，用事件A表示“至少有1个红球”，则A＝{(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含16个样本点．
故所选3个球中至少有1个红球的概率P(A)＝＝.
角度二 求“有序不放回抽取”型古典概型的概率
[例3] 三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机排成一行，恰好排成BEE的概率为________．
[解析] 记写有E的两张卡片分别为E1，E2，画树状图如下：
故样本空间Ω＝{E1E2B，E1BE2，E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，共6个样本点，记事件A为“恰好排成BEE”，则A＝{BE1E2，BE2E1}，共包含2个样本点，故P(A)＝＝.
[答案]
角度三 求“有放回抽取”型古典概型的概率
[例4] 一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从盒子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为n，求n[解] (1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，其样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共包含6个样本点，
用A表示“取出的球的编号之和不大于4”，则A＝{(1,2)，(1,3)}，A包含的样本点个数为2.
因此所求事件的概率P(A)＝＝.
(2)先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，用数对(m，n)来表示取出的结果，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共包含16个样本点，用B表示“n≥m＋2”，故表示“n所以P()＝.
求解古典概型的概率“四步”法
[注意] 计算样本点时要注意两个区别
(1)“无序”与“有序”的区别．“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述；
(2)“有放回”与“无放回”的区别．“有放回”取出的元素可以重复，而“无放回”取出的元素没有重复．
[跟踪训练]
1．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．
解析：将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，向上的点数共有36种情况，其中点数和为5的情况有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，则所求概率为＝.
答案：
2．一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这3个球除颜色外完全相同．有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球．计算下列事件的概率：
(1)取出的两个球都是白球；
(2)第一次取出白球，第二次取出黑球；
(3)取出的两个球中至少有一个白球．
解：把2个白球记为白1，白2.
所有样本点有：(黑，黑)，(黑，白1)，(黑，白2)，(白1，黑)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，黑)，(白2，白1)，(白2，白2)，共9个．
(1)设“取出的两个球都是白球”为事件A，则事件A包含的样本点有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个．
故取出的两个球都是白球的概率P(A)＝.
(2)设“第一次取出白球，第二次取出黑球”为事件B，则
事件B包含的样本点有(白1，黑)，(白2，黑)，共2个．
故第一次取出白球，第二次取出黑球的概率P(B)＝.
(3)设“取出的两个球中至少有一个白球”为事件C，则C表示“取出的两个球都是黑球”，C包含的样本点只有1个，则C包含的样本点有8个，
故取出的两个球中至少有一个白球的概率P(C)＝.
古典概型与其他知识的交汇问题
[例5] 某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示．
(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1)；
(2)年级决定在成绩[70，100]中用分层随机抽样的方法抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组分别抽取了多少人？
(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正、副2个小组长，求成绩在[80，90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率．
[解] (1)由频率分布直方图得，众数为＝65.
成绩在[50，70)内的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4，
成绩在[70，80)内的频率为0.03×10＝0.3，
∴中位数为70＋×10≈73.3.
(2)成绩为[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，
∴[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组抽取的人数分别为3，2，1.
(3)由(2)知成绩在[70，80)有3人，分别记为a，b，c；成绩在[80，90)有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f.用x1，x2表示从[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组中抽取的2人，则数组(x1，x2)表示这个试验的一个样本点．
∴从抽取的6人中选出正、副2个小组长的样本空间Ω＝{(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(a，e)，(e，a)，(a，f)，(f，a)，(b，c)，(c，b)，(b，d)，(d，b)，(b，e)，(e，b)，(b，f)，(f，b)，(c，d)，(d，c)，(c，e)，(e，c)，(c，f)，(f，c)，(d，e)，(e，d)，(d，f)，(f，d)，(e，f)，(f，e)}．
设事件A＝“成绩在[80，90)中至少有1人当选为正、副小组长”，则事件A包含的样本点有18个，
∴成绩在[80，90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率P(A)＝＝.
古典概型综合问题的求解步骤
(1)分析所求概率事件的构成，确定随机试验变量；
(2)将事件转化为关于变量的条件，写出满足条件的样本点；
(3)根据古典概型的概率公式求解．
[跟踪训练]
1．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}．则A∩B＝B的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析：选C ∵a∈A，b∈A，所以可列表如下：
ba 1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
易知B中最多有两个元素．∵A∩B＝B，∴B可能为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．
当B＝ 时，Δ＝a2－4b<0，满足条件的(a，b)为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)；
当B＝{1}时，满足条件的(a，b)为(2，1)；
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的(a，b)；
当B＝{1，2}时，满足条件的(a，b)为(3，2)；
当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的(a，b)；
故符合条件的(a，b)共有8种，∴P(A∩B＝B)＝.
2．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数组(a，b)．
(1)列举出数组(a，b)对应的样本空间，并求函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：(1)样本空间Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共15个样本点．
函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，
满足条件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点．
∴y＝f(x)有零点的概率P1＝＝.
(2)∵a>0，函数y＝f(x)图象对称轴为直线x＝在区间[1，＋∞)上是增函数，∴有≤1，
满足条件的(a，b)有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13个样本点．
∴y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率P2＝.
1．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为( )
A. B.
C. D．
解析：选C 袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法．取出的球恰好是白球，共有4种取法．故取出的球恰好是白球的概率为.故选C.
2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图(含亁、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每卦有三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为________．
解析：记八卦分别为1，2，3，4，5，6，7，8，则从八卦中任取两卦，可能情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共28种取法．
若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；
当有一卦阳、阴线的根数为3，0时，另一卦阳、阴线的根数为0，3，共有1种取法．
当有一卦阳、阴线的根数为2，1时，另一卦阳、阴线的根数为1，2，共有9种取法．
所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1＋9＝10(种)．
则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P＝＝.
答案：
3．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.设x1，x2为从评分在[40，60)的受访职工中随机抽取的2人，则(x1，x2)表示一个样本点，则“从评分在[40，60)的受访职工中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10种结果，设事件A＝“所抽取2人的评分都在[40，50)”，则A＝{(B1，B2)}，结果只有1种，故所求的概率P(A)＝.
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9古典概型
[A级 基础巩固]
1．(多选)下列概率模型是古典概型的为( )
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：选ABD 因为A、B、D符合古典概型的特征，所以A、B、D是古典概型；在C中，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型．故选A、B、D.
2．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0，3)，(a，2)，(b，2)，(c，2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3，0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B.
3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另外2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)}，共包含10个样本点，其中“恰有2只测量过该指标”包含的样本点共有6个，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为＝，故选B.
4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，其样本空间Ω＝{(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)}，共包含10个样本点，记事件E为“取到的3点共线”，则事件E包含的样本点为(O，A，C)，(O，B，D)，共2个，所以P(E)＝＝.故选A.
5．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A. B.
C. D．
解析：选B 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率为＝.
6．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：此试验的样本空间Ω＝{(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共有3个样本点，故P(A)＝＝.
答案：
7．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3，3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝＝＝.
答案：
8．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________，若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________．
解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率为.从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故概率为.
答案：
9．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)由分层随机抽样的定义知，
从小学抽取的学校数目为6×＝3(所)，
从中学抽取的学校数目为6×＝2(所)，
从大学抽取的学校数目为6×＝1(所)．
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．
②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝＝.
10．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数y/颗 23 25 30 26 16
(1)求这5天发芽数的中位数；
(2)求这5天的平均发芽率；
(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m，后面一天发芽的种子数为n，用(m，n)的形式列出所有样本点，并求满足“”的概率．
解：(1)因为16＜23＜25＜26＜30，所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为×100%＝24%.
(3)用(x，y)表示所求试验的样本点，则有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个样本点．
记“”为事件A，则A＝{(25，30)，(25，26)，(30，26)}，共有3个样本点．所以P(A)＝，即事件“”的概率为.
[B级 综合运用]
11．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
12．(多选)设集合M＝{2，3，4}，N＝{1，2，3，4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m，n)落在直线x＋y＝k上”为事件Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事件Ak的概率最大，则k的取值可能是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选BC 由题意，该试验的样本空间Ω＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共12个样本点，则事件A3：点P(m，n)落在直线x＋y＝3上，包含其中(2，1)，共1个样本点，所以P(A3)＝；事件A4：点P(m，n)落在直线x＋y＝4上，包含其中(2，2)，(3，1)，共2个样本点，所以P(A4)＝；事件A5：点P(m，n)落在直线x＋y＝5上，包含其中(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个样本点，所以P(A5)＝；事件A6：点P(m，n)落在直线x＋y＝6上，包含其中(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3个样本点，所以P(A6)＝；事件A7：点P(m，n)落在直线x＋y＝7上，包含其中(3，4)，(4，3)，共2个样本点，所以P(A7)＝；事件A8：点P(m，n)落在直线x＋y＝8上，包含其中(4，4)，共1个样本点，所以P(A8)＝.综上可得，当k＝5或6时，P(Ak)max＝P(A5)＝P(A6)＝.
13．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个．
同理，由1，2，4组成的三位自然数共6个；
由1，3，4组成的三位自然数也是6个；
由2，3，4组成的三位自然数也是6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)．
由1，2，3组成的三位自然数中，共6个“有缘数”．
由1，3，4组成的三位自然数中，共6个“有缘数”．
所以三位数为“有缘数”的概率P＝＝.
答案：
14．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
解：将3道选择题依次编号为1，2，3，2道填空题依次编号为4，5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.
[C级 拓展探究]
15．(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．
②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝.
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